あるスポーツでは先攻後攻をコインのトスで決めている．このコインが正しく作られているか否かをテストするために，50回投げたところ，表が35回出た．

　このコインは正しいと言えるか？

　コインのトスの結果は偶然に支配されるので，テストしたときに表がちょうど半分出るとは限らない．　

　コインの表が出る回数は二項分布 B(n, p) をなし，試行回数が多いときは正規分布 N(np, np(1-p) )と見なしてよい．
　この問題ではμ=np=25，σ==3.536の正規分布となる．

　もし，コインが正しく作られていれば(p=0.5ならば)「広く見積もっても(95%の確率で)」表の出る回数は18回〜32回の間にあるはずであるが，35回も出ている．

　これは「めったにないことが起こった」というよりは，コインが正しく作られているという仮定が間違っていると考えるべき．

　偶然に支配される世界を扱っているので，100%確実とは言えないが，コインが正しく作られていると見なす範囲をかなり広くとって確率95%で採択しているのに，その範囲に入らない．

　95%もの範囲に入らない理由としては，「コインが正しくない」場合と，「コインは正しいがめったにないことが起こった」場合の２つが考えられるが，「宝くじが当たるようなことを前提とした」判断をせずに，「コインが正しくない」方を選ぶ．（社会の安全，会社の信用などがかかっていたらどうだろうか･･･）

　もちろん偶然に支配される世界の話なので，めったにないことが起こる確率を5%とすれば，このコインを正しくないと判断したときに，正しく作られたコインを「正しくない」と判断する危険率は5%ある．
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○　元の仮説(p = 0.5)が正しくないと判断する範囲を棄却域という．
○　元の仮説(p = 0.5)が正しくないと判断したときに，その判断が間違っているかもしれない確率を有意水準もしくは危険率といいαで表わす．(この問題ではα=0.05)
○　有意水準もしくは危険率として通常5%が用いられるが，特に精度の高い判断が必要なときは1%を用いることもある．
　危険率1%の場合は，仮説が採択される範囲が99%となるので，正規分布で両側が棄却域の場合　X＜μ-2.58σおよびX＞μ+2.58σが棄却域となる．　

　あるサイコロが正しく作られているかどうか調べるために600回投げてテストしてみたところ，１の目が90回出た．有意水準5%として，このサイコロが正しく作られているかどうか判断せよ.

　1の目が出る回数は二項分布 B(n, p) に従い，試行回数が多いときは正規分布 N(np, np(1-p))と見なしてよい．
　この問題では μ = 100，σ = 9.129 の正規分布となる．

μ-1.96σ=82.1，μ+1.96σ=117.9
90回は仮説 p = 1/6 を採択する範囲に入る．

　このような場合，仮説 p = 1/6 は棄却できないが，正しいとも言い切れない．

　元の仮説を「帰無仮説」といいH₀で表わす．
(この問題では，帰無仮説は「サイコロが正しい」「1の目が出る確率はp =1/6」)

　元の仮説が棄却されたときに採択される仮説を「対立仮説」といいH₁で表わす．
(この問題では，対立仮説は「サイコロは正しくない」「1の目が出る確率はp≠1/6」)

⇒　帰無仮説（本音でない方）を前提にすると棄却域に入ってしまうことから対立仮説（本音）を導くというのが検定の手法．

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　例２の考え方のように両側に棄却域をとるものを両側検定という．）
　このサイコロは「1の目の確率が少ないのではないか」と疑う場合，帰無仮説として「１の目が出る確率は p = 1/6」として，大きい方95%を帰無仮説が採択される範囲に選び，小さい方5%を棄却域に選ぶ．その場合，正規分布表で p(u)=0.45となるuの値を調べると1.65となるから，右図のような棄却域となる．（これを片側検定という．
　片側検定の場合，棄却域は X ＜100-1.65×9.129=84.9となる．
　上記の問題では，片側検定でも棄却域に入らない．

　ある規格の鶏卵は重さの平均61(g)，標準偏差1(g)の条件を満たすものと定められている．ある日，出荷予定の鶏卵100個を抽出検査した結果，平均が59.0(g)であったとき，この日出荷予定の鶏卵は規格の範囲内にあるといえるか．有意水準5%で検定せよ．

帰無仮説H₀：出荷予定の鶏卵の重さμ=61
対立仮説H₁：出荷予定の鶏卵の重さμ≠61
とする．
（以下は解説の都合で両側検定とするが，少ないという疑いがあるときは片側検定とする．）
　標本抽出をするとき，標本平均の期待値=母平均，標本平均の標準偏差=
　出荷予定の鶏卵全体を母集合とすると，有意水準5%の両側検定の場合，採択域は
m-1.96≦μ≦m+1.96
58.8≦μ≦59.2＜61
棄却域に入るから，鶏卵は規格外

　春に１群の稚魚であった養殖魚を２つの池に分けて飼育し，秋に100尾ずつ標本を抽出して体重を測定したところ，Ａ池の養殖魚は平均体重20(g)，標準偏差3(g)，B池の養殖魚は平均体重21(g)，標準偏差4(g)であった．B池の養殖魚が良く育っていると言えるか．α=0.05で検定せよ．

帰無仮説H₀：平均体重 μ₁ = μ₂
対立仮説H₁：平均体重 μ₁ ＜ μ₂
平均の差は m₂-m₁ = 1(g)
分散は=0.25 → 標準偏差は0.5
z = 1/0.5 = 2.0＞1.65
したがって，片側検定で棄却域に入る．
Ｂ池の養殖魚が良く育っている．