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♪♥♫♦∀高校入試の基本〜標準∳♣♬∅♠

空間における点の移動

【問題1】
　右の図は，１辺が6cmの立方体である。2点P, Qは同時にAを出発し，Pは毎秒1cmの速さで辺上をA→B→C→Dの順に動き，Dで停止する。Qは毎秒1cmの速さ辺上をA→Dの順に動き，Dで停止したまま動かない。P, QがAを出発してからx秒後の，四面体AEPQの体積をy(cm3)とする。次の(1)〜(3)の問いに答えなさい。
(1)　0≦x≦6のとき，yをxの式で表しなさい。
(2)　6≦x≦12のとき，yの値の変化として正しいものを，次のア〜ウから１つ選び，記号で答えなさい。また，そのように判断した理由を，四面体AEPQの底面積と高さに着目して，説明しなさい。
ア　増加する　　イ　減少する　　ウ　変化しない
(3)　PがAを出発してからDに到着するまでの間で，y=12となるxの値をすべて求めなさい。

（解答）
(1)
AP=x, AQ=xだから，△APQの面積は，(cm2)
四面体AEPQの体積は
(cm3)
(2)
6≦x≦12のとき，△APQの面積は，18(cm2)で変化しないから，四面体AEPQの体積も54(cm3)で変化しない：ウ
(3)
ア　0≦x≦6のとき

(cm)
イ　6≦x≦12のとき
　上記の(2)の結果から，となることは起こらない
ウ　12≦x≦18のとき


(cm)
以上から，(cm)
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【問題2】
　右の図のように，AB=6cm, BC=8cm, CA=3cm, BE=12cmの三角柱ABC−DEFがある。点Pは，点Bを出発して辺BE上を毎秒1cmの速さで動き，点Eで停止する。点Qは，点Cを出発して辺CF上を毎秒2cmの速さで動き，点Fで折り返して点Cに戻ったところで停止する。2点P, Qが同時に出発し，出発してからの時間をx秒(0≦x≦12)とする。このことについて，次の(1)〜(3)の問いに答えなさい。
(1)　0≦x≦6のとき，四角形PBCQの面積を，xを使って表せ。
(2)　線分PQが長方形BCFEの面積を２等分するときのxの値をすべて求めよ。
(3)　三角形DPQがDP=DQの二等辺三角形となるとき，線分PQの長さを求めよ。

（解答）
(1)
0≦x≦6のとき，BP=x, CQ=2xだから，四角形PBCQの面積は
(cm2)
(2)
ア)　0≦x<6のとき
　(1)の結果から，

イ)　6≦x≦12のとき
　BP=x, CQ=24−2xだから，
　x=12
以上から，x=4, 12(cm)
(3)
ア)　0≦x<6のとき
　BP=x, EP=12−x，CQ=2x, FQ=12−2xだから


これらが等しくなるのは





これらの値は0≦x<6の範囲にないから，この範囲には解はない
イ)　6≦x≦12のとき
　BP=x, EP=12−x，FQ=2x−12だから


これらが等しくなるのは

ア)のときと同様にして，
6≦x≦12の範囲だから，x=9
このとき，PE=12−9=3, EF=8, EQ=2x, FQ=18−12=6の台形だから
(cm)
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【問題3】
　右の図のように，１辺の長さが10cmの立方体があり，点Mは辺GHの中点である。点Pは《ルール》にしたがって移動する。
《ルール》
　点Pが点Aを出発してからx秒後の△AFPの面積をy cm2とする。ただし，点Pが点Fにあるときはy=0とする。次の(1)〜(3)の問いに答えよ。
(1)　x=6のとき，yの値を求めなさい。
(2)　10≦x≦20のとき，y=24となるxの値を求めなさい。求める過程も書きなさい。
(3)　20≦x≦30のとき，線分BP, PMの長さの和が最も短くなるxの値を求めなさい。また，そのときのyの値を求めなさい。

（解答）
(1)
x=6のとき，PはAB間にあり，△AFPの面積は
(cm2)
(2)
10≦x≦20のとき，PはBF間にあり，PF=20−xだから

となるのは



(3)
20≦x≦30のとき，PはFG間にあり，BP+PMが最短となるのは，右図のように直線になるとき．
PF=x−20, PG=30−xで，△BFP∽△MGPとなるから
　(x−20):(30−x)=10:5=2:1
　(x−20)=2(30−x)
　x−20=60−2x
　3x=80

また，このとき，△AFPは，底辺の長さがFP=x−20=，高さがAF=の三角形になるから，その面積は

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【問題4】
　図3の立体は，△ABCを１つの底面とする三角柱である。この三角柱において，∠ACB=90°, AC=4cm, CB=8cm, AD=9cmであり，側面はすべて長方形である。また，BG=6cmとなる辺BE上の点をGとする。点Pは，点Aを出発し，毎秒1cmの速さで辺AC，線分CG上を，点Cを通って点Gまで移動する。
　このとき，次の(1)〜(3)の問いに答えなさい。
(1)　点Pが辺AC上にあるとき，△PDFの面積を求めなさい。
(2)　点Pが点Aを出発してから3秒後のとき，四角形PDFCを，辺ADを軸として1回転させてできる立体の体積を求めなさい。ただし，円周率はπとする。
(3)　点Pが点Aを出発してから9秒後のとき，線分PDの長さを求めなさい。

（解答）
(1)
△PDFにおいて，底辺をFD=4cmとすると，高さはAD=9cmとなるから，面積は
(cm2)
(2)
右図において長方形ADFCを辺ADのまわりに回転してできる円柱の体積から，三角形ADPを辺ADのまわりに回転してできる円錐の体積を引く
(cm3)
(3)
右図において，CB=8, BG=6, CG=10となる．さらに，CP=5となるから，PはCGの中点．
PからBCに平行な線をひき，FCと交わる点をHとする．
また，PからCFに平行な線をひき，FEと交わる点をIとする．
BC∥PHは平面ADFCに垂直だから，平面ADFCに含まれる直線HDと垂直
だから(cm)
（別解1）
DFは平面FEBCに垂直だから，平面FECBに含まれる直線FPと垂直
だから(cm)
（別解2）
PIは平面DEFに垂直だから，平面DEFに含まれる直線DIと垂直
だから(cm)

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【問題5】
　図3の立体は，△ABCを１つの底面とする三角柱である。この三角柱において，∠ACB=90°, AC=BC, AB=12cm, AD=3cmであり，側面はすべて長方形である。また，点Pは，点Eを出発し，毎秒1cmの速さで3辺ED, DA, AB上を，点D, Aを通って点Bまで移動する。
　このとき，次の(1)〜(3)の問いに答えなさい。
(1)　点Pが辺ED上にあり，△ADPの面積が6cm2となるのは，点Pが点Eを出発してから何秒後か，答えなさい。
(2)　点Pが点Eを出発してから14秒後のとき，△APEを，辺APを軸として１回転させてできる立体の体積を求めなさい。ただし，円周率はπとする。
(3)　この三角柱において，図4のように，点Pが辺AB上にあり，CP+PDが最小となるときの，線分PFの長さを求めなさい。

（解答）
(1)
△ADPにおいて，AD=3cm，∠ADP=90°だから，DP=4cmのときに△ADPの面積が6cm2となる．
このとき，EP=8cmだから，8秒後
(2)
14秒後には，点Pは，DP=2, AP=1となる点にいるから，△APEを，辺APを軸として１回転させてできる立体は，右図の水色の部分を１回転したものになる．すなわち，△ADEを，辺ADを軸として１回転させてできる円錐から，△PDEを，辺PDを軸として１回転させてできる円錐を取り除いたものになる
(cm3)
(3)
右の展開図で，DP+PCが最短となるのは，直線になる場合で，そのとき

次に，右の断面図を使って，空間でのPFの長さを求めると
(cm)
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【問題6】
　図1のように，１辺がa cmの立方体ABCD−EFGHがあります。
　次の(1)〜(3)に答えなさい。
(1)(2)　略
(3)　図3は，図1の立方体で，a=10としたものです。
　点P, Qはそれぞれ頂点A, Bを同時に出発し，四角形ABCDの辺上を，Pは毎秒
1cmの速さでBを通ってCまで，Qは毎秒2cmの速さでC, D, Aを通ってBまで移動します．2直線PQ, EGが同じ平面上にある直線となるのは，点P, Qがそれぞれ頂点A, Bを同時に出発してから，何秒後と何秒後ですか，求めなさい。

（解答）
(3)
• 2直線PQ, EGは交わらないから，これらが同一平面上にあるのは，PQ∥EGとなる場合に限る
• 頂点A, Bを同時に出発してから，x秒後にPQ∥EGとなるとすると
ア) 0≦x<5のとき
　AP=x, CQ=10−2x


イ) 5≦x<10のとき
　PはAB間にあり，QはCD間にあるから，PQ∦EGとなって，題意に合わない
ウ) 10≦x<15のとき
　PはBC間にあり，QはDA間にあるから，PQ∦EGとなって，題意に合わない
エ) 15≦x≦20のとき
　CP=10−x, AQ=2x−30


以上から，（秒後）
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