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♪♥♫♦∀高校入試の基本〜標準∳♣♬∅♠
根号の大小比較
【問題1】
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(1) (2021年度 石川県公立高校入試問題)
(2) (2018年度 奈良県公立高校入試問題)
（解答）
(1) 17≦n≦24 n=17,18,19,20,21,22,23,24 全部で，８個…（答） (2) 26≦a≦35 n=26,27,28,29,30,31,32,33,34,35 10個…（答） |
【問題2】
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根号を使って表した数について述べた文として適切なものを，次のア〜エの中から１つ選び，その記号を書きなさい。ただし，0<a<bとする。
ア
イ ウ エ aの平方根は (2022年度 青森県公立高校入試問題)
（解答）
アウエは基本なので，即答できてほしい問題です．
ア→正しいイは，２乗比較すれば分かります． ウ→ エ→ イ→辺々２乗して比較する だから 以上から，ア…（答） |
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【問題3】
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次の二つの条件を同時に満たす自然数nの値を求めなさい。 ・ ・ (2022年度 大阪府公立高校入試問題B)
（解答）
第１の条件から 17≦n≦24…(#1) 第２の条件から 2×3×nが平方数 n=2×3×k2（kは正の整数）…(#2) (#2)により ア) k=1のとき，n=6となって，(#1)を満たさない イ) k=2のとき，n=24 ウ) k≧3のとき，n≧54となって，(#1)を満たさない 以上から，n=24…（答） |
【問題4】
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大小２つのさいころを同時に投げるとき，出た目の数の和をnとします。 次の(1)，(2)に答えなさい。 (1) ただし，a, bは自然数とし，a>1とします。 (2) ただし，a, bは自然数とし，a>1とします。 (2022年度 北海道公立高校入試問題)
（解答）
(1) i) 出た目の和だから，2≦n≦12 ii) 102n=2×3×17×nが(1よりも大きい)少なくとも1つの平方数を含んでいる
※「簡単な公式」的なものが思い浮かばない場面では，道なき道を１つずつ進む
「102n=2×3×17×nが(1よりも大きい)少なくとも1つの平方数を含んでいればよい」※i) により，小さい方から順にn=2,3,4,...,12と調べるとよい
n=2→〇 n=3→〇 n=4→〇
以上により，n=2,3,4,6,8,9,10,12…（答）n=5→× n=6→〇 n=7→× n=8→〇 n=9→〇 n=10→〇 n=11→× n=12→〇 (2)
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割り算の余り
【問題5】
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ある自然数を4で割ると3余り，5で割ると4余り，6で割ると5余ります。このような自然数のうち，最も小さい数を求めなさい。 (2018年度 埼玉県公立高校入試問題)
（解答）
【最小公倍数の基本問題】
その自然数に1足すと，4でも5でも6でも割り切れるから，60×1−1,60×2−1,60×3−1,...のうちで最も小さいものを選ぶと，59…（答）
• 小学校の基本問題1 ［例1］ 5で割っても7で割っても割り切れる，最も小さい正の整数を求めてください． （5と7の最小公倍数の）35が答 • 小学校の基本問題2 ［例2］ 5で割っても，7で割っても2余る，最も小さい正の整数を求めてください． 2が答 （37と教える先生が多いが，それは間違いであることに注意：35×0+2, 35×1+2, 35×3+2, ...のうちで最も小さい正の整数は2） • 中学校の発展問題1 ［例3］ 5で割ると4余り，7で割ると6余る，最も小さい正の整数を求めてください． （1足すと5でも7でも割り切れるから，34, 69, ...のうちで最も小さいもの）34が答 ※機転を利かせたら解けるので，高校入試でも出題されることがある． • 中国剰余定理と呼ばれる整数問題を具体例で出題するもの ［例4］ 5で割ると4余り，7で割ると2余る，最も小さい正の整数を求めてください． ※高校入試の問題としては，この問題は難しすぎるから，多分出題されない ※高校の整数問題では解き方があるが，中学校では35n+k (0≦k<35)となるkの値を地道に調べる方が確実だと思われる． 5m+4, 7n+2となる最小の正の数は，見たらわかる：(m=n=1のとき) 9が答 |
【問題5’】
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(1) ある自然数を3で割ると1余り，4で割ると2余り，5で割ると3余るとき，このような自然数のうち，最も小さい数を求めてください。 (2) ある自然数を3で割ると2余り，4で割ると3余り，5で割り切れるとき，このような自然数のうち，最も小さい数を求めてください。 (3) ある自然数を4で割ると3余り，5で割ると2余り，6で割ると1余るとき，このような自然数のうち，最も小さい数を求めてください。 (4) ある自然数を4で割ると1余り，5で割ると3余り，6で割ると5余るとき，このような自然数のうち，最も小さい数を求めてください。 (補足問題)
（解答）
⇒こちらのページの下端に中国剰余定理(中学では覚えなくてよい)
(1)
正の整数a,b,c,p,q,rについて，a,b,cが互いに素であるとき，aで割るとp余り，bで割るとq余り，cで割るとr余る正の整数Nは，0≦N<abcの範囲にただ1つ存在する
に関係する，具体的な問題を解くツールがあるので，それで確かめることができます．4と6は互いに素とは言えないので，(3)(4)の問題は中国剰余定理の条件を満たしていないが，それ風の問題でも解くことはできます 2足すと，3でも4でも5でも割り切れるから，58…（答） (2) 1足すと，3でも4でも割り切れるから，11, 23, 35, ... そのうちで5で割り切れるのは35…（答） (3) 4l+3, 5m+2, 6n+1となる最小の正の数は，見たらわかる：(l=m=n=1のとき) 7が答 (4) 4で割ると1余り，5で割ると3余るから， 20n+13=13, 33, 53, 73, ... このうちで，6で割ると5余るものは，53…（答） |
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文字式による説明
【問題6】
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2けたの自然数のうち，3の倍数は全部で何個あるか。 (2022年度 鹿児島県公立高校入試問題)
（解答）
nを整数とするとき，3の倍数は，3nで表される
nを整数とするとき，10≦3n≦99を満たすnの範囲を求める nは整数だから 4≦n≦33 (33−4)+1=30(個)…（答） ↑※両端を含める個数の数え方だから，「両端含む形の植木算」=n+1型になる |
【問題7】
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3の倍数は，整数nを用いて3nと表される。 次の(1)，(2)に答えよ。 (1) 次のア〜カのうち，整数nを用いて3n+1と表されるものをすべて選び，記号で答えよ。 ア 80 イ 81 ウ 82 エ 83 オ 84 カ 85 (2) 3と6，12と15のように，連続する2つの3の倍数において，大きい方の数の2乗から小さい方の数の2乗をひいた差は，もとの2つの数の和の3倍に等しくなることの証明を完成させよ。
（証明）
整数nを用いると， したがって，連続する2つの3の倍数において，大きい方の数の2乗から小さい方の数の2乗をひいた差は，もとの2つの数の和の3倍に等しくなる。 (2018年度 福岡県公立高校入試問題)
（解答）
(1) 3n+1において，n=26, 27, 28, 29とおくと 79, 82, 85, 88, ...となる． ウ，カ…（答） (2) 連続する2つの3の倍数は，3n, 3(n+1)とおけるから {3(n+1)}2−(3n)2 =9n2+18n+9−9n2 =18n+9 =3(6n+3) =3{3n+3(n+1)} |
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【問題8】
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連続する3つの自然数をそれぞれ2乗して足すと365であった。 もとの3つの自然数のうちもっとも小さい数を求めなさい。 (2018年度 愛知県公立高校入試問題A)
（解答）
求める数をn (>0)とすると n2+(n+1)2+(n+2)2 =n2+n2+2n+1+n2+4n+4 =3n2+6n+5 =365 3n2+6n=3n(n+2)=360 n(n+2)=120 (n+12)(n−10)=0 nは正の数だから n=10…（答） |
【問題9】
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460−20nの値が，ある自然数の2乗となるような自然数nの値をすべて求めなさい。 (2018年度 大分県公立高校入試問題)
（解答）
460−20n=k2（n, kは自然数）とおける この式は，次のように変形できる． 20(23−n)=k2 22×5(23−n)=k2 そこで，1≦n≦22の範囲で，23−n=5m2（mは自然数）となるものを探す ア) m=1のとき，23−n=5 n=18 イ) m=2のとき，23−n=20 n=3 ウ) m≧3のとき，23−n≧45 → n≦−22となって，条件を満たさない 以上から，n=3, 18…（答） |
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【問題10】
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(2021年度 徳島県公立高校入試問題)
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【問題11】
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次の文章は，連続する5つの自然数について述べたものである。文章中のAにあてはまる最も適当な式を書きなさい。また，a，b，c，dにあてはまる自然数をそれぞれ書きなさい。
連続する5つの自然数のうち，最も小さい数をnとすると，最も大きい数はAと表される。
このとき，連続する5つの自然数の和はa(n+b)と表される。 このことから，連続する5つの自然数の和は，小さい方からc番目の数のd倍となっていることがわかる。 (2018年度 愛知県公立高校入試問題A)
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