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♪♥♫♦∀〜基本から応用まで〜∳♣♬∅♠

箱ひげ図

• 資料を小さい順に並べて，四分の一ずつにある点(25%点，50%点，75%点)を順に第1四分位数，第2四分位数，第3四分位数という．ただし，第2四分位数は中央値である．
• このとき，最小値，第1四分位数，第2四分位数，第3四分位数，最大値を次のように視覚的に表したものを「箱ひげ図」という． • 最大値と最小値の差を「範囲」という．
• 第3四分位数と第1四分位数の差を「四分位範囲」という．
• 範囲や四分位範囲によって，資料の散らばり具合が分かる.

　理屈の上で，四分位数は上記のように定義されるが，具体的に整数個の資料が与えられたとき，四分位数は次のように決める．
(1)　資料の総数が奇数個で，その中央値を取り除いた残りもそれぞれ奇数個であるとき

(2)　資料の総数が奇数個で，その中央値を取り除いた残りがそれぞれ偶数個であるとき
(3)　資料の総数が偶数個で，中央値で２つに分けた組がそれぞれ奇数個であるとき
(4)　資料の総数が偶数個で，中央値で２つに分けた組もそれぞれ偶数個であるとき

【問題1】
　右の表は，クイズ大会に参加した11人の得点である。この表をもとにして，箱ひげ図をかくと，右の図のようになった。a, bの値をそれぞれ求めなさい。

（解答）
• 資料を小さい順に並べると
　　5,7,[7],8,10, (11),13,14,[16],19, 20 となる．
• 11個の資料で小さい順に6番目の 11 が中央値（第2四分位数）
• それを取り除いた残り２組について，下の組の中央値 7が第1四分位数，上の組の中央値16が第3四分位数
したがって，a=7, b=16…（答） →解説を隠す←

【問題2】
　次の【データ】は，ある生徒15人について，小テストを実施したときの全員の得点を，値の小さい順に並べたものである。
【データ】

（解答）
4,6,6,[6],8,10,12,(14),16,18,20,[22],24,28,30
⇒ 最小値=4,第1四分位数=6, 第2四分位数=14, 第3四分位数=22, 最大値=30だから�A…（答） →解説を隠す←

【問題3】
　ある中学校のＡ組40人とＢ組40人の生徒が，20点満点のクイズに挑戦しました。次の箱ひげ図は，そのときの2クラス40人ずつの得点の分布を表したものです。この箱ひげ図から読み取れることを正しく説明しているのは，ア〜エのうちではどれですか。当てはまるものをすべて答えなさい。

A組 B組 0 5 10 15 20 (点)

ア　四分位範囲は，A組よりもＢ組の方が大きい。
イ　2クラス全体の中で，得点が一番高い生徒はＢ組にいる。
ウ　Ａ組第3四分位数は，Ｂ組の第2四分位数より大きい。
エ　得点が12点以上の生徒の人数は，Ｂ組がＡ組の2倍以上である。

（解答）
ア
　Ａ組の四分位範囲は，11−5=6
　Ｂ組の四分位範囲は，14−7=7
　だから，アは正しい
イ
　得点が一番高い生徒は，20点でＡ組にいるから，イは間違い
ウ
　Ａ組第3四分位数は11，Ｂ組の第2四分位数は12だから，ウは間違い
エ
　得点が12点以上の生徒の人数は，Ａ組が10人以下，Ｂ組が20人以上だから，エは正しい
以上から，ア，エ…（答） →解説を隠す←

【問題4】
　　ある中学校の3年1組35人と2組35人に，家庭学習にインターネットを利用する平日1日あたりの時間について，調査を行った。図1は，それぞれの組の分布のようすを箱ひげ図にしたものである。また，図2は，2組のデータを小さい順に並べたものである。
　このとき，あとの問いに答えなさい。

図1 1組 2組 15 32 52 85 115 (分)

5, 7, 8, 9, 12, 13, 14, 16, 16, 18, 19, 19, 21,
22, 23, 25, 30, 35, 38, 41, 42, 43, 45, 50, 51,
52, 55, 58, 62, 63, 65, 70, 85, 90, 105 (分) 図2

(1) 1組の四分位範囲を求めなさい。
(2) 2組の第3四分位数を求めなさい。
(3) 上の2つの図1と図2から読みとれることとして，必ず正しいといえるものを次のア〜オからすべて選び，記号で答えなさい。
ア　1組と2組を比べると，2組のほうが，四分位範囲が大きい。
イ　1組と2組のデータの範囲は等しい。
ウ　どちらの組にも利用時間が55分の生徒がいる。
エ　1組には利用時間が33分以下の生徒が9人いる。
オ　1組の利用時間の平均値は52分である。

（解答）
(1)
　1組の四分位範囲は，85−32=53…（答）
(2)
　2組の第3四分位数は，55…（答）
ア
　1組の四分位範囲は，85−32=53
　2組の四分位範囲は，55−16=39
　⇒ 1組のほうが，四分位範囲が大きいから，アは×
イ
　1組の最大値は115，最小値は15，その差：データの範囲は100
　1組のデータの範囲は，図2から読み取って105−5=100
　⇒イは〇
ウ
　2組には「利用時間が55分の生徒がいる」と言えるが，1組は必ずしも走とは言えない⇒ウは×
エ
　1組で第1四分位数は，小さい順に数えて9番目の値になるから，32が9番目となり，33分以下に9人以上の生徒がいると言える⇒エは〇
オ
　1組の中央値は52分であるが，平均値はこれよりも大きい場合も小さい場合もある⇒オは× 以上により，正しいものは，イとエ…（答） →解説を隠す←

【問題5】　筆者の感想：難しい
　Ａ中学校では，体育祭の種目に長縄跳とびがある。全学年とも，連続して何回跳べるかを競きそうものである。下の表は，1年生のあるクラスで長縄跳びの練習を行い，それぞれの回で連続して跳んだ回数を体育委員が記録したものである。
　このとき，次の�@，�Aの問いに答えなさい。

	1回目	2回目	3回目	4回目	5回目	6回目	7回目	8回目
記録(回)	3	11	7	12	14	7	9	16

�@　1回目から8回目までの記録の中央値（メジアン）を求めなさい。
�A　9回目の練習を行ったところ，記録はa回であった。次ページの図は，1回目から9回目までの記録を箱ひげ図に表したものである。このとき，9回目の記録として考えられるaの値をすべて求めなさい。

0 5 10 15 (回)

（解答）
�@
　小さいものから順に数えて，4番目が9回，5番目が11回だから，中央値はそれらの平均値で10回…（答）
�A ←難しい!!
ア) a=10のとき
　⇒第2四分位数が9にならない
イ) a≧11のとき
　⇒第2四分位数が9にならない
（なお，a>16のときは，最大値も合わない）
ウ) a=9のとき
　⇒箱ひげ図と一致する
エ) a=8のとき
　⇒箱ひげ図と一致する
オ) a=7のとき
　⇒箱ひげ図と一致する
カ) a=6のとき
　⇒第1四分位数が7にならない
キ) a≦5のとき
　⇒第1四分位数が7にならない
（なお，a<3のときは，最小値も合わない）
以上のウ）エ）オ）から，a=7, 8, 9…（答） →解説を隠す←

【問題6】　筆者の感想：難しい
　下の図は，ある中学校の2年Ａ組，Ｂ組，Ｃ組それぞれ生徒35人の，ハンドボール投げの記録を箱ひげ図に表したものである。このとき，ハンドボール投げの記録について，図から読み取れることとして正しいものを，次のア〜オからすべて選び，その符号を書きなさい。
ア　Ａ組，Ｂ組，Ｃ組のいずれの組にも，30mを上回った生徒がいる。
イ　Ａ組とＢ組を比べると，四分位範囲はＢ組の方が大きい。
ウ　Ｂ組とＣ組を比べると，範囲はＢ組の方が大きい。
エ　Ａ組は，10m以上15m以下の生徒の人数より，15m以上20m以下の生徒の人数の方が多い。
オ　Ｃ組には，25m以下だった生徒が27人以上いる。

（解答）
ア
　Ａ組の最大値は28mであるから，×
イ
Ａ組の四分位範囲は，24−11=13，Ｂ組の四分位範囲は，23−14=9．Ａの四分位範囲の方が大きいから,×
ウ
Ｂの範囲は，36−7=29，Ｃの範囲は，34−9=25．Ｂ組の範囲が大きいから，〇
エ
Ａ組の10m以上15m以下は，9番目から18番目の全体の4分の1以上，15m以上20m以下は全体の4分の1以下．×
オ
Ｃ組で25m以下=第3四分位数以下は，27人以上，〇
以上から，ウとオ…（答）
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【問題7】　筆者の感想：難しい
　田村さんの住む町では，毎年多くのホタルを見ることができ，6月に最も多く観察されます。そこで，田村さんは，6月のホタルの観察数を2019年から2021年までの3年間について調べました。下の図は，それぞれの年の6月の30日間について，日ごとのホタルの観察数を箱ひげ図にしたものです。この箱ひげ図から読み取れることとして正しいものを，下の�@〜�Cの中からすべて選び，その番号を書きなさい。
�@　2019年の6月では，観察されたホタルの数が1000匹未満であった日数が15日以上ある。
�A　6月に7000匹以上のホタルが観察された日が1日もないのは，2020年だけである。
�B　2021年の6月では，3000匹以上10000匹以下のホタルが観察された日数が15日以上ある。
�C　4000匹以上のホタルが観察された日数は，2021年の6月には2019年の6月の2倍以上ある。

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【問題8】　筆者の感想：難しい
　和夫さんと紀子さんの通う中学校の3年生の生徒数は，Ａ組35人，Ｂ組35人，Ｃ組34人である。
　図書委員の和夫さんと紀子さんは，3年生のすべての生徒について，図書室で1学期に借りた本の冊数の記録を取り，その記録をヒストグラムや箱ひげ図に表すことにした。
　次の図は，3年生の生徒が1学期に借りた本の冊数の記録を，クラスごとに箱ひげ図に表したものである。
　次の(1)〜(3)に答えなさい。
(1)　和夫さんは，図から読みとれることとして，次のように考えた。
和夫さんの考え
　図から読みとれることとして，和夫さんの考え(�T)〜(�V)はそれぞれ正しいといえますか。次のア〜ウの中から最も適当なものを１つずつ選び，その記号をかきなさい。
ア　正しい　　イ　正しくない
ウ　この資料からはわからない
(2)　C組の記録をヒストグラムに表したものとして最も適切なものを，次のア〜エの中から１つ選び，その記号を書きなさい。



(3) 略

（解答）
(1)
(�T)
　Ａ組の四分位範囲は，26−14=12
　Ｂ組の四分位範囲は，29−17=12
　Ｃ組の四分位範囲は，32−14=18
⇒四分位範囲が最も大きいのはＣ組だから，イ（正しくない）
(�U)
借りた本の冊数が20冊以下である人数
　20人はＡ組の中央値よりも小さいから，17人以下
　20人はＢ組の中央値よりも大きいから，19人以上
　20人はＣ組の中央値よりも大きいから，17人以下
⇒Ｂ組が最も多いから，ア（正しい）
(�V)
　Ａ組は，32冊の生徒がいる
　Ｂ組は，30冊以上35冊以下の生徒がいるかどうかわからない
⇒ウ（この資料からはわからない）
(2)
Ｃ組について
　最小値=8 ⇒ エ(最小値が5未満)は×
　第1四分位数=14⇒ イ(9番目が15以上)は×
　第2四分位数=23 ⇒ ア(中央値が20未満)は×
　第3四分位数=32 ⇒ イは×
　最大値=41 ⇒ エ(最大値が45以上)は× ウは上記5つの値が条件を満たしている…ウ（答） →解説を隠す←