【例1】　
　x2−25を因数分解しなさい．

【因数分解公式】
x2−a2=(x+a)(x−a)

【問題1.1】　
　x2−16を因数分解しなさい．

（解答）
x2−16=x2−42=(x+4)(x−4)…（答）

【問題1.2】　
　x2−4y2を因数分解しなさい．

（解答）
x2−4y2=x2−(2y)2=(x+2y)(x−2y)…（答）

【問題1.3】　
　4x2−81を因数分解しなさい．

（解答）
4x2−81=(2x)2−92=(2x+9)(2x−9)…（答）

【問題1.4】　
　6x2−24を因数分解しなさい．

（解答）
6x2や24のままでは何の2乗なのか分かりませんが，「公式を使って因数分解する」よりも先に「共通因数があればくくり出す」という変形をします．
6x2−24=6(x2−4)=6(x2−22)=6(x+2)(x−2)…（答）

【問題1.5】　
　2xy2−18xを因数分解せよ．

（解答）
「公式を使って因数分解する」よりも先に「共通因数があればくくり出す」という変形をします．
2xy2−18x=2x(y2−9)=2x(y2−32)=2x(y+3)(y−3)…（答）

【例2】　
　a2+2a−15を因数分解しなさい．

【因数分解公式】
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)

【問題2.1】　
　x2−13x+36を因数分解しなさい．

（解答）
積が36となる2数は同符号（正と正，または負と負）．その中で和が−13となるのは，負と負の組
(−4)×(−9)=36, (−4)+(−9)=−13だから
x2−13x+36=(x−4)(x−9)…（答）

【問題2.2】　
　x2−2x−15を因数分解しなさい．

（解答）
積が−15となる2数は異符号（正と負）．その中で和が−2となるのは，負の方が強い
(−5)×(3)=−15, (−5)+(3)=−2だから
x2−2x−15=(x−5)(x+3)…（答）

【問題2.3】　
　2x2−8x−10を因数分解せよ．

（解答）
「公式を使って因数分解する」よりも先に「共通因数があればくくり出す」という変形をします．
2が共通因数だから2をくくり出します．
2x2−8x−10=2(x2−4x−5)
次に，積が−5となる2数は異符号（正と負）．その中で和が−4となるのは，負の方が強い
(−5)×(1)=−5, (−5)+(1)=−4だから
2(x2−4x−5)=2(x−5)(x+1)…（答）

【問題2.4】　
　2x2+2x−24を因数分解せよ．

（解答）
「公式を使って因数分解する」よりも先に「共通因数があればくくり出す」という変形をします．
2が共通因数だから2をくくり出します．
2x2+2x−24=2(x2+x−12)
次に，積が−12となる2数は異符号（正と負）．その中で和が1となるのは，正の方が強い
(4)×(−3)=−12, (4)+(−3)=1だから
2(x2+x−12)=2(x+4)(x−3)…（答）

【例3】　
　(x−3)2−2(x−3)−35を因数分解しなさい．

【2回以上出て来る式は1文字に置き換える】
x−3=Aとおくと
(x−3)2−2(x−3)−35=A2−2A−35
これ因数分解します

【問題3.1】　
　(x+6)2−13(x+6)+40を因数分解せよ．

（解答）
x+6=Aとおくと
(x+6)2−13(x+6)+40=A2−13A+40
積が40となる2数は同符号（正と正，または負と負）．その中で和が−13となるのは，負と負の組
(−5)×(−8)=40, (−5)+(−8)=−13だから
(A−5)(A−8)
元のxに戻すと
(x+6−5)(x+6−8)=(x+1)(x−2)…（答）
（別解）…上記の置き換えが難しければ「単純計算主義」でもよい
(x+6)2−13(x+6)+40=x2+12x+36−13x−78+40
=x2−x−2
積が−2となる2数は異符号（正と負）．その中で和が−1となるのは，負の方が強い
(−2)×(1)=−2, (−2)+(1)=−1だから
(x−2)(x+1)…（答）

【問題3.2】　
　(a−4)2+4(a−4)−12を因数分解しなさい．

（解答）
a−4=Aとおくと
(a−4)2+4(a−4)−12=A2+4A−12
積が−12となる2数は異符号（正と負）．その中で和が4となるのは，正の方が強い
(6)×(−2)=−12, (6)+(−2)=4だから
(A+6)(A−2)
元のxに戻すと
(a−4+6)(a&mius;4−2)=(a+2)(a−6)…（答）
（別解）…上記の置き換えが難しければ「単純に計算」して展開してから因数分解してもよい
(a−4)2+4(a−4)−12=a2−8a+16+4a−16−12
=a2−4a−12
積が−12となる2数は異符号（正と負）．その中で和が−4となるのは，負の方が強い
(−6)×(2)=−12, (−6)+(2)=−4だから
(a−6)(a+2)…（答）

【例4】　
　(x+1)(x+4)−2(2x+3)を因数分解しなさい．

【問題4.1】　
　(x−4)2+2(x−2)−3を因数分解しなさい．

（解答）
同じ式が全くないときは，単純に展開して，式を整理してから因数分解します
(x−4)2+2(x−2)−3=x2−8x+16+2x−4−3
=x2−6x+9
積が9となる2数は同符号（正と正，または負と負）．その中で和が−6となるのは，負と負の組
(−3)×(−3)=9, (−3)+(−3)=−6だから
(x−3)2…（答）

【例5】　
　6a2b−4ab2+8abを因数分解しなさい．

【問題5.1】　
　ab2−2ab−2b+4を因数分解しなさい．

（解答）
aでくくると
a(b2−2b)−2(b−2)=ab(b−2)−2(b−2) =(b−2)(ab−2)…（答）
※２文字が含まれる因数分解は主に高校1年生で習うので，高校入試にはあまり出ないようです