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難易度の目安 教科書レベルの基本:教☆☆
参考書の普通レベル:★参☆
大学入試基本レベル:★★受
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【T. 空間ベクトルの内積】
(1) 図形的に示される場合 2つのベクトルのなす角をとすると,内積は (2) 成分表示されている場合 の内積は |
【例題】教☆☆
(1)次の2つのベクトルの内積を求めよ. (1) (2) (3) (2) (3) |
【例題】教☆☆
右図のように1辺の長さがa (>0)の立方体ABCD-EFGHがあるとき,次の内積を求めてください. (1) (2) (3) (4) (5)
• 2つの「ベクトルの大きさ」と「ベクトルのなす角」が分かれば,内積が求まる.
(1) ,∠CAB=45°だから (2) ,∠DAB=90° だから
• 角度が書いてなくても,3辺の長さから求まることがある.
(3) 正方形の対角線の長さは三平方の定理で求まる次に,だから△ACFは,正三角形であり,∠CAF=60°
(別解)・・・この準公式は後で使う!
右図において となるから 元の問題に戻ると
• において,が単独では分からなくても,は分かることがある
(4)例えば,右図のようにをに投影したときの影の長さ(符号付)をdとすると,角度θがどのように変化しても が成り立つ △AFGは,∠AFG=90°の直角三角形だから(∠GAF)=AF これにより (5) 右図のように,与えられた立方体の隣に同じ大きさの立方体を並べると になり,さらに だから(3)において辺の長さから内積を求めた手順を参考にすると |
【例題】教☆☆
(1)右図のように辺の長さがEF=p, EH=q, EA=r (>0) の直方体ABCD-EFGHがあるとき,次の内積を求めてください. (1) (2) (3) (4) (5)
この問題では,ベクトルのなす角は,直接に数値として与えられていない
,さらに三平方の定理を使うとだから(∠ABE) のように,直角三角形の辺の比で余弦を表すか、もしくは前述の例題(3)のように,3辺の長さで内積を表すとよい
(別解)・・・成分表示を使う考え方
とする成分表示を使うと(以下の問題も同様)
(別解)・・・基本ベクトル表示的な考え方
(2),∠BAD=90°だから
(別解)
(3)だから 次に だから
(別解)
(別解)
(4)だから 次に だから
(別解)
(別解)
(5)右図のように,同じ大きさの直方体を手前に並べると だから
(別解)
(別解)
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【U. 空間ベクトルの大きさとなす角】
(2) ベクトルの大きさは (3) 2つのベクトルのなす角をとすると |
【問題1】教☆☆
[解説を読む]ベクトルにおいて,内積コであり,とのなす角はサシ°である. (2011年度千葉工業大 工学部)
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【問題2】教☆☆
[解説を読む]空間の3点A(1, −2, 3), B(3, −4, 2), C(−3, 3, 0)に対して,ベクトルとのなす角を求めよ. (2005年度福井県立大)
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【問題3】教☆☆
[解説を読む]Oを原点とする座標空間内に3点 A(1, 1, 1), B(2, −1, 2), C(0, 1, 2)がある.点Pが四面体OABCの辺BC上を動くとき, (1) 内積は3であることを示せ. (2) ∠AOPの大きさが最小になるときの点Pの座標を求めよ. (2000年度広島大)
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【問題4】★☆☆
[解説を読む]座標空間内の点A(4, 4, −3)を通り,点B(7, 1, 3)へ向かう直線の上を移動する動点Pがある.Pが原点Oに最も近づくときの距離OPはである. (2000年度日本獣医畜産大)
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【問題5】★参☆
[解説を読む]xyz空間の3点をA(4,5,6), B(7,11,−3), C(4,9,4)とし,2点A,Bを通る直線をlとする. (1) tを媒介変数として,l上の点の座標(x, y, z)をtを用いて表せ. (2) 点Cからの距離が最小となるl上の点Hの座標とベクトルの大きさを求めよ. (3) 大きさ1のベクトルがとに垂直であるとき,点P(p, q, r)をすべて求めよ. (2000年度同志社大 工学部)
(1)
x=4+3t y=5+6t z=6−9t (2) l上の点P(4+3t, 5+6t, 6−9t)とC(4,9,4)の間の距離を求める. だから のとき,最小値をとる このとき,H(5,7,3),
(別解)
(3)CP⊥ABのときCPが最小になる 以下は同様 C(4,9,4), H(5,7,3), , A(4,5,6), B(7,11,−3), に対して,求めるベクトルをとおくと だから ・・・@ だから ・・・A だから ・・・B
与えられた2つのベクトルに垂直な単位ベクトルくを求めるものは,頻出・必須問題で,解き方も何ら難しいものではない.
@+Aただ,この問題に限って,感想を言えば,結果がゴチャゴチャしていて,正解にたどり着いても,合っている自信が持てない. 受験生が気の毒! 2x−4z=0 x=2z @−A 4y−2z=0 z=2y 以上から x=4y, z=2y これをBに代入すると |
【V. ベクトルの平行条件・垂直条件】
(1) 2つのベクトルが垂直であるための必要十分条件は (2) 2つのベクトルが平行であるための必要十分条件は (tは実数)または(sは実数) (※一方が他方の実数倍であれば,平行になる) (2’) 3点P, Q, Rが一直線上にあるための条件は (tは実数) ※Q, Rを始点として書いてもよい |
【問題6】教☆☆
[解説を読む]とが垂直であるとき,t=スである. (2014年度千葉工業大)
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【問題7】教☆☆
[解説を読む]とに直交する単位ベクトルでx成分が正であるものは(B)である. (2014年度北見工業大)
求めるベクトルをとおく.
だから ・・・(1) だから ・・・(2) だから ・・・(3) x成分が正だから ・・・(4) (1)×2−(2) ・・・(5) (5)を(1)に代入 ・・・(6) (5)(6)を(3)に代入 (4)によりx>0だから ・・・(答) |
【問題8】★☆☆
[解説を読む]空間に3点A(2, 2, 2), B(1, 2, 1), C(2, y, 1)が与えられている.三角形ABCが直角三角形になるのはy=ハのときである. (2011年度立教大 理学部)
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【問題9】教☆☆
[解説を読む]点A, B, Cの座標が,A(x, 4, −1), B(3, 1, 0), C(1, y, 1)であるとき,A, B, Cが一直線になるようにx, yの値を定めよ. (2000年度高崎経済大)
A, B, Cが一直線になるには,になればよい.
A, Cを始点として書いてもよいが,Bを始点として書くと,x, yの係数が正の数になり,計算ミスを防げる
成分に分けると −2=t(x−3)・・・(1) y−1=3t・・・(2) 1=−t・・・(3) (3)から t=−1 (1)に代入 −2=−(x−3) x−3=2 x=5・・・(答) (2)に代入 y=−2・・・(答) |
【問題10】教☆☆
[解説を読む]2つのベクトルの両方に垂直な単位ベクトルを求めよ. (2016年度岩手大 理工学部)
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==三角形の面積==
【W. ベクトルで表された三角形の面積】
(1) △ABCにおいて,∠BAC=θとするとき,△ABCの面積は ・・・(1) ここで ・・・(2) だから,(2)を(1)に代入すると (2) ベクトルの成分が明らかでなく,ベクトルの大きさ(辺の長さ)だけが分かっているときは,「余弦定理」を用いて角度を求めることができる. 例えば,右図において |
【問題11】教☆☆
[解説を読む]4点O(0, 0, 0), A(a, 0, 0), B(0, b, 0), C(0, 0, c)を頂点とする四面体を考える.ただし,a, b, c>0とする.以下の問に答えよ. (1) △ABCの面積を求めよ. (2)(3) 略 (2005年度早稲田大 理工学部)
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==四面体の体積==
【問題12】★★受
[解説を読む]辺の長さが で与えられる四面体OABCを考える.とおいて,以下の問いに答えよ. (1) ∠AOBの余弦cos∠AOBを求め, △AOBの面積を計算せよ. (2) 内積を求めよ. (3) 点Cから△AOBを含む平面に垂線lを引き,その平面とlとの交点をHとする.このとき,をを用いて表せ. (4) 線分CHの長さを求め,四面体OABCの体積を計算せよ. (2005年度電気通信大)
(1) △AOBについて,OA=a, OB=b, AB=d, ∠AOB=θとおくと,余弦定理により
△AOBの面積をSとすると (2) 右図の場合 だから 同様にして (3) とおくと だから ・・・(A) だから ・・・(B) (A)より ・・・(A’) (B)より ・・・(B’) (A’)(B’)よりs=t=1 (4) だから
体積(V)=底面積(△OAB)×高さ(CH)÷3
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【問題13】★参☆
[解説を読む]四面体ABCDにおいて,AB=4, BC=5, AC=AD =BD=CD=3とする.点Dから三角形ABCを含む平面へ垂線DHを下ろす.このとき,次の問いに答えよ. (1) との値をそれぞれ求めよ. (2) をとを用いて表せ. (3) 四面体ABCDの体積Vを求めよ. (2021年度静岡大 理学部)
(1)
(∠BAD) 同様にして (∠BAD)
後で使うので,ついでに求めておくと
(2)(⇔直角) とおくと ここで,となるように,定数s, tを定める. より (1)で求めた値,問題の仮定を使うと ・・・@ より (1)で求めた値,問題の仮定を使うと ・・・A @Aより (3)
体積(V)=底面積(△ABC)×高さ(HD)÷3 によって計算する
(1)で求めた値から,AB⊥ACだから△ABCは直角三角形また(1)で求めた値,(2)の結果,問題の仮定から
AHから求めてもよい
だから |
【X.空間の4点が同一平面上にあるための条件】
3点A, B, Cが同一直線上にないとき,で表されるベクトルは,で張られる平面上にある.異なる3点A, B, Cが同一直線上にないとき,4点A, B, C, Dが同一平面上にあるための条件は が成り立つことである.(s, tは実数) なお,基底とするベクトル,表されるベクトルの組み合わせ方は,何通りも可能 |
【問題14】★☆☆
[解説を読む]4点A(3,1,1), B(2,−1,0), C(0,1,2), D(x,0,−1)が同一平面上にあるように定数xの値を定めよ. について,となるためには この連立方程式を解くと
(別解)
3点A(3,1,1), B(2,−1,0), C(0,1,2)を通る平面の方程式を求めて[=この方法は教科書的基本],その平面上にD(x,0,−1)があるということから定数xの値を求める方法
3点A,B,Cを通る平面の方程式をax+by+cz+d=0とおく
この平面が,点D(x,0,−1)を通るから• 点A(3,1,1)を通るから 3a+b+c+d=0・・・(1) • 点B(2,−1,0)を通るから 2a−b+d=0・・・(2) • 点C(0,1,2)を通るから b+2c+d=0・・・(3) 未知数4個,方程式3個の連立方程式になるから,一文字dについては解かずに,dをパラメータとして他の未知数をdで表すことにする.(右辺の括弧で囲んだ文字については解かない) 3a+b+c=(−d)・・・(1’) 2a−b=(−d)・・・(2’) b+2c=(−d)・・・(3’) これより 平面の方程式は −x+3+4=0 x=7 |
【問題15】★参☆
[解説を読む]座標空間の原点をOとし,座標空間内に4点A(1, 3, 3), B(1, 1, 2), C(2, 3, 2), P(t, t, t)をとる.ただしtは実数である. (1) t≠0とするとき,とが直交するようなtの値を求めなさい. (2) が最小となるようなtの値を求めなさい. (3) 4点A, B, C, Pが1つの平面に含まれるようなtの値を求めなさい. (2014年度慶應義塾大 看護医療学部)
(1)
だから,となるには ・・・(答) (2) は,t=2のとき最小値をとる・・・(答) (3) (は実数) すなわち となるように点Pの座標を定めるとよい. t=1+l・・・@ t=3−2l・・・A t=3−k−l・・・B @ABを解くと ・・・(答)
(別解)
A, B, Cを通る平面の方程式をax+by+cz+d=0とおく この平面がA(1, 3, 3)を通るから a+3b+3c+d=0・・・@ この平面がB(1, 1, 2)を通るから a+b+2c+d=0・・・A この平面がC(2, 3, 2)を通るから 2a+3b+2c+d=0・・・B @ABは未知数4個,方程式3個の連立方程式だから,1文字だけ決まらない不定解になる.そこで,dについては解かないことにして,他の文字をdを使って表す. a+3b+3c=(−d)・・・@’ a+b+2c=(−d)・・・A’ 2a+3b+2c=(−d)・・・B’ @’−A’ 2b+c=0 c=−2b・・・C CをA’に代入 a+b−4b=(−d) a=3b−d・・・D CDをBに代入 2(3b−d)+3b+2(−2b)+d=0 5b=d 平面の方程式は −2x+y−2z+5=0 2x−y+2z−5=0 点P(t, t, t)がこの平面上にあるためには 2t−t+2t−5=0 3t=5 ・・・(答) |
【問題16】★参☆
[解説を読む]座標空間において,3点A(1, 0, 0), B(0, 4, 0), C(0, 0, −2)を含む平面をαとする.点P(−1, −1, −1)から平面αに下ろした垂線と平面αとの交点Hの座標はクである.また,点Pの平面αに関して対称な点Qの座標はケである. (2016年度茨城大 工学部)
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【問題17】★参☆
[解説を読む]空間内に4点A(1, 0, 0), B(0, −1, 0), C(0, 0, −1), D(1, 1, 1)がある. (1) 3点A, B, Cを通る平面をαとする.点P(x, y, z)がα上にあるとき,x, y, zの間に成り立つ関係式を求めよ. (2) 点Dから平面αに下ろした垂線の足をHとする.点Hの座標を求めよ. (2005年度兵庫県立大 理学部)
(1)
(s, tは実数)とおく −s−t=(x−1) −s=(y) −t=(z) s, tを消去すると,x−y−z=1・・・(答)
(別解)
(2)3点A, B, Cを通る平面の方程式をax+by+cz+d=0とおくと 点A(1, 0, 0)を通るから a+d=0 点B(0, −1, 0)を通るから −b+d=0 点C(0, 0, −1)を通るから −c+d=0 d(≠0)を用いてa, b,cを表すと a=−d, b=d, c=d 平面の方程式は −dx+dy+dz+d=0 x−y−z−1=0・・・(答) H(p, q, r)とおくと, だから ・・・@ だから ・・・A H(p, q, r)は平面α上にあるから p−q−r−1=0・・・B @ABを解くと ・・・(答)
(別解)
点D(1, 1, 1)を通り,平面αの法線ベクトルに平行な直線上の点H(p, q, r)は の形に書くことができる.すなわち 点H(p, q, r)が平面αの方程式x−y−z−1=0を満たすから (1+t)−(1−t)−(1−t)−1=0 1+t−1+t−1+t−1=0 3t=2 ・・・(答) |
【問題18】★★受
[解説を読む]座標空間内に3点A(1, 1, 2), B(3, 5, 7), C(4, 4, 5)がある.また,s, tは実数であるとして,点P(s, t, 4)を考える. (1) 点Pが3点A, B, Cを通る平面上にあるためのs, tの関係式を求めよ. (2) 点Pが直線AB上にあるときのs, tの値を求めよ. (3) 点Pが3点A, B, Cを通る平面上を動くとき,その軌跡により三角形ABCは二つの部分に分けられる.この二つの部分の面積の比の値rを求めよ.ただし,r≧1とする. (2014年度大阪府立大 工学部)
(1)
点Pは3点A, B, Cを含む平面上にあるから,k, lを実数として,次の形に書ける. (s, t, 4)=(1, 1, 2)+k(2, 4, 5)+l(3, 3, 3) s=1+2k+3l・・・@ t=1+4k+3l・・・A 4=2+5k+3l・・・B @ABからk, lを消去してs, tの関係式を作る A−@ t−s=2k・・・C B−A 4−t=1+k・・・D C−D×2 3t−s−8=−2 3t−s=6・・・(答) (2) が成り立つから (s, t, 4)=(1, 1, 2)+k(2, 4, 5) s=1+2k・・・@ t=1+4k・・・A 4=2+5k・・・B Bより @Aにそれぞれ代入すると ・・・(答) (3)
• 2点A, Bを通る直線上に点Pがある
s=1+2k+3l・・・@(kは実数) 次の形もよく出てくる (s+t=1, s, tは実数) • AB:AD=1:α, AC:AE=1:βのとき △ABC:△ADE=1:αβ t=1+4k+3l・・・A 4=2+5k+3l・・・B @ABから3t−s=6のとき,s, tを消去してk, lの関係式を作ると 3(1+4k+3l)−(1+2k+3l)=6 3+12k+9l−1−2k−3l=6 10k+6l=4 5k+3l=2・・・(*) となるから とおくと すなわち となるから,AD:DB=2:1, AE:EC=2:3となる点を各々D, Eとすると となって,Pは直線DE上にある. したがって △AED : ⏢DECB=4:11 ・・・(答)
(別解)
(2)の結果から, また,(*)からk=0のとき,だから したがって △AED : ⏢DECB=4:11 ・・・(答) |
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