行列の積

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■行列の積　ＡＢの定義

［行ベクトルと列ベクトルの内積］
●行と列の掛け方
内積については，左からは行ベクトルを
右からは列ベクトルを掛けるものとします。
（左右を逆にしたものは定義されません。）

●要素数
行ベクトルの要素の個数(列数)と
列ベクトルの要素の個数(行数)が
等しいときに，行と列の内積が定義されます。

内積が定義できるものの例

内積が定義できないものの例

［行列の積］
●［ｍ×ｎ型］［ｎ×ｐ型］＝［ｍ×ｐ型］
積が定義されるためには，左の列数と右の行数が等しくなければなりません。

結果は，［ｍ×ｐ型］となります。
●成分は，成分は，i行とｊ列の積がｉ行ｊ列成分となります。

［要約］　(1)　行・列＝行列　(2)　型は「しりとり」

例
右の行列Ｂ₁～Ｂ₉のうち，２×３行列 Ａ＝

に対して，右から掛けることができるものは，Ｂ₇，Ｂ₈，Ｂ₉で（行数が３のものです。），積は各々２×１型，２×２型，２×３型になります。

　また，２×３行列

Ａ＝

に対して，左から掛けることのできるものは，Ｂ₂，Ｂ₅，Ｂ₈で（列数が２のものです。）す，積は各々１×３型，２×３型，３×３型になります。

Ｂ₁=,Ｂ₂=,Ｂ₃=

Ｂ₄=,Ｂ₅=,Ｂ₆=

Ｂ₇=,Ｂ₈=,Ｂ₉=

［問題］　

１右の行列Ｂ₁～Ｂ₉のうち，３×２行列Ｃ＝に対して，右から掛けることができるものを選びなさい。（チェックを付けなさい。）	Ｂ₁=,Ｂ₂=,Ｂ₃= Ｂ₄=,Ｂ₅=,Ｂ₆= Ｂ₇=,Ｂ₈=,Ｂ₉=
２右の行列Ｂ₁～Ｂ₉のうち，３×２行列Ｃ＝に対して，左から掛けることができるものを選びなさい。（チェックを付けなさい。）	Ｂ₁=,Ｂ₂=,Ｂ₃= Ｂ₄=,Ｂ₅=,Ｂ₆= Ｂ₇=,Ｂ₈=,Ｂ₉=

[積の計算]

例

［問題］

３

[ア]=4−2=2
[イ]=−5+6=1

[ウ]=3−4=−1
[エ]=−3+4=1
[オ]=5−6=−1
[カ]=−5+6=1

[キ]=8−3=5
[ク]=4−1=3

[ケ]=1+0+3=4
[コ]=1+2+0=3
[サ]=0+2+3=5

４各々正しいものを選んでください． (1)行列の積 $\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ は 1×2行列 2×2行列 2×1行列解説になり，その (2,1) 成分は −1 −2 −3 1 2 3 解説になる．	2×2行列と 2×1行列の積は，しりとりの仕組みで中の組を落としていくと2×1行列になります左の行列の２行目 $\begin{pmatrix} 3 & 4 \end{pmatrix}$ と右の行列の１列目 $\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ を掛けると $6-4=2$
(2)行列の積 $\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 3& 0 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ は 3×2行列 2×2行列 3×3行列解説になり，その (1,2) 成分は 3 4 5 6 7 8 解説になる．	2×3行列と 3×2行列の積は，しりとりの仕組みで中の組を落としていくと2×2行列になります左の行列の1行目 $\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}$ と右の行列の2列目 $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}$ を掛けると $1 + 0 + 6=7$
(3)行列の積 $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 3& 0 & 4 \end{pmatrix}$ は 3×2行列 2×2行列 3×3行列解説になり，その (2,1) 成分は −3 −2 −1 0 1 2 解説になる．	3×2行列と 2×3行列の積は，しりとりの仕組みで中の組を落としていくと3×3行列になります左の行列の2行目 $\begin{pmatrix} 2 & 0 \end{pmatrix}$ と右の行列の1列目 $\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$ を掛けると $2 + 0 =2$
(4)行列の積 $\begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3 & -4 \end{pmatrix}$ は 1×2行列 2×2行列 2×1行列解説になり，その (1,2) 成分は −7 −6 −5 5 6 7 解説になる．	1×2行列と 2×2行列の積は，しりとりの仕組みで中の組を落としていくと1×2行列になります左の行列の1行目 $\begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix}$ と右の行列の2列目 $\begin{pmatrix} 1 \\ -4 \end{pmatrix}$ を掛けると $1-8=-7$
(5)行列の積 $\begin{pmatrix}1& 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1& 2\\ 3& -4\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0& 1& 0\\ 2& 0& 3\end{pmatrix}$ は 1×2行列 1×3行列 2×1行列 2×1行列 2×3行列解説になり，その (1,2) 成分は 2 3 4 5 6 7 解説になる．	1×2行列と 2×2行列と 2×3行列の積は，しりとりの仕組みで中の組と組を落としていくと1×3行列になります左端の行列と中の行列を掛けて，できた行列に右端の行列を右から掛けると $\begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ $= \begin{pmatrix} 7 & -6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ $= \begin{pmatrix} -12 & 7 & -18 \end{pmatrix}$ だから (1,2)　成分は7になります

■［個別の頁からの質問に対する回答］[行列の積について／18.6.12］

昭和の初期に生まれた84歳の老人です。ふとしたことから行列、ベクトルに興味をもち、これまた偶然にこのサイトに出会いました。（もちろん高校時代に行列やベクトルなど教科書にありませんでした。）説明が非常にわかりやすく、よく理解できました。ありがとうございました。最後のページの行列の積の問題をやり全問正解だったとき自分で拍手をしてしまいました。これからも時間があったら少しずつ勉強してみようと思っております。よろしくお願いいたします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．この教材の管理人が行列を習ったのは今からほぼ半世紀前です．50歩100歩かも．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[行列の積について／18.3.21］

行　列　行　列　と頭の中で念仏の様に唱えながら解きました行は漢字に横の線があるから横　列は縦の漢字があるから縦とも覚えてみました
＝＞［作者］：連絡ありがとう．各自の内的なロジックで身に着いていくのだと思う．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[行列の積について／18.1.22］

わかりやすかったです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[行列の積　ＡＢの定義について／17.10.7］

すごく参考になります！ありがとうございました！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[行列の積について／17.9.26］

私は、行列について初心者でしたが、分かりやすかったです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[行列の積　ＡＢの定義について／17.3.3］

行列に関してほぼ知識なしの状態でこのページにたどり着きましたが、ちゃんと理解できました。すごく分かりやすかったです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[行列の積について／17.2.8］

windows8.1、IEの環境ですが、4(2)と(3)の数字が上下消えていて読めなくなっておりました(他は問題ありませんでした。こちらの機種(NECのタブレットPC)のせいかもしれませんが、念のため報告します。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．原因となる箇所は特定できるのですが，区切り文字のスペースを入れるとエラーになる場合と，区切り文字のスペースを入れないとエラーになる場合があって，やってみないと分からないという感じです．(2)はスペースあり：エラー，なし：正常，(5)はなし：エラー，あり：正常とちょうど逆にすると直りました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[行列の積について／17.1.12］

(5)の式を示す画像が正しく表示されておりません。修正していただけると嬉しいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．このエラーが時々起こることは認識していましたが，今原因が特定できました（たぶん）．直っています．

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４各々正しいものを選んでください． (1)行列の積 $\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ は 1×2行列 2×2行列 2×1行列解説になり，その (2,1) 成分は −1 −2 −3 1 2 3 解説になる．	2×2行列と 2×1行列の積は，しりとりの仕組みで中の組を落としていくと2×1行列になります左の行列の２行目 $\begin{pmatrix} 3 & 4 \end{pmatrix}$ と右の行列の１列目 $\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ を掛けると $6-4=2$
(2)行列の積 $\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 3& 0 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ は 3×2行列 2×2行列 3×3行列解説になり，その (1,2) 成分は 3 4 5 6 7 8 解説になる．	2×3行列と 3×2行列の積は，しりとりの仕組みで中の組を落としていくと2×2行列になります左の行列の1行目 $\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}$ と右の行列の2列目 $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}$ を掛けると $1 + 0 + 6=7$
(3)行列の積 $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 3& 0 & 4 \end{pmatrix}$ は 3×2行列 2×2行列 3×3行列解説になり，その (2,1) 成分は −3 −2 −1 0 1 2 解説になる．	3×2行列と 2×3行列の積は，しりとりの仕組みで中の組を落としていくと3×3行列になります左の行列の2行目 $\begin{pmatrix} 2 & 0 \end{pmatrix}$ と右の行列の1列目 $\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$ を掛けると $2 + 0 =2$
(4)行列の積 $\begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3 & -4 \end{pmatrix}$ は 1×2行列 2×2行列 2×1行列解説になり，その (1,2) 成分は −7 −6 −5 5 6 7 解説になる．	1×2行列と 2×2行列の積は，しりとりの仕組みで中の組を落としていくと1×2行列になります左の行列の1行目 $\begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix}$ と右の行列の2列目 $\begin{pmatrix} 1 \\ -4 \end{pmatrix}$ を掛けると $1-8=-7$
(5)行列の積 $\begin{pmatrix}1& 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1& 2\\ 3& -4\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0& 1& 0\\ 2& 0& 3\end{pmatrix}$ は 1×2行列 1×3行列 2×1行列 2×1行列 2×3行列解説になり，その (1,2) 成分は 2 3 4 5 6 7 解説になる．	1×2行列と 2×2行列と 2×3行列の積は，しりとりの仕組みで中の組と組を落としていくと1×3行列になります左端の行列と中の行列を掛けて，できた行列に右端の行列を右から掛けると $\begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ $= \begin{pmatrix} 7 & -6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ $= \begin{pmatrix} -12 & 7 & -18 \end{pmatrix}$ だから (1,2)　成分は7になります