三角形の五心
《解説》
■ 重心の定義
「△ABCの各頂点から対辺の中点に引いた線(中線)は,1点で交わります.」・・・ア
この点を△ABCの重心といいます.
□ 重心の性質
△ABCの重心をG,BC,CA,ABの中点を各々L,M,Nとするとき,
AG:GL=2:1
BG:GM=2:1 ・・・イ
CG:GN=2:1

が成り立ちます.

■ 外心の定義
△ABCの各頂点が同一円周上にあるとき,この円を△ABCの外接円といい,外接円の中心を△ABCの外心といいます.・・・ウ
□ 外心の性質
△ABCの辺BC,CA,ABの垂直二等分線は,外心で交わります.・・・エ
■ 内心の定義
△ABCの各辺が同一円の接線になっているとき,この円を△ABCの内接円といい,内接円の中心を△ABCの内心といいます.・・・オ
□ 内心の性質
△ABCの角A,B,Cの二等分線は,内心で交わります.・・・カ
△ABCの内心Iから各辺に引いた垂線の長さは等しくなります・・・キ
左図において,AR=AQ,BP=BR,CP=CQが成り立ちます.・・・ク
■ 垂心の定義
「△ABCの各頂点から対辺に引いた垂線は,1点で交わります.」・・・ケ
この点を△ABCの垂心といいます.

(垂心は中学校では習わないのが普通です.高校(生徒によって習う科目が違う)でもほとんどの生徒は習いません.しかし,大学入試や各種検定試験では,分かっているものとして扱われることが多いので,記憶に留めておきましょう.)

■ 重要な相互関係

 1 正三角形のときは,重心・外心・内心・垂心は一致します.
   
 2 三角形の外接円の半径Rは,内接円の半径rよりも大きくなります.(2倍以上になります.)
   正三角形のときはR=2rです.


《問題1》
 左図の赤丸が表わしているものを右から選びなさい.
重心

外心

内心

垂心


おてつきはダンゴ1つ

《問題2》
 次の文章が表わしているものを右から選びなさい.
重心

外心

内心

垂心


おてつきはダンゴ1つ
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