変化の割合

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== 変化の割合 ==

《解説》
■　次の関数y=2x−1（図１）においては，xが1から3まで変化するとき（xは2増加），yは1から5まで変化します（yは4増加）．　

--図１--

xの増加量
＝(xの最後の値)－(xの最初の値)
＝3−1=2です．

yの増加量
＝(yの最後の値)－(yの最初の値)
＝5−1=4です．

xが1から3まで変化するとき，関数y=2x−1の

「変化の割合」は

で定義されており，

「変化の割合」は $\frac{4}{2}=2$

になります．

■　他の例として，次の関数y=−x+3（図２）においては，xが0から3まで変化するとき（xは3増加），yは3から0まで変化します（yは3減少）

--図２--

xの増加量
＝(xの最後の値)－(xの最初の値)
＝3−0=3です．

yの増加量
＝(yの最後の値)－(yの最初の値)
＝0−3=−3です．

ｘが０から３まで変化するとき，関数y=−x+3の

「変化の割合」は

で定義されており，

「変化の割合」は $\frac{-3}{3}=-1$

になります．
（※yが減少するときの増加量はマイナスで表わします．）

【例１】
　関数y=3x−4において，xの値が5から7まで増加するときの変化の割合を求めてください．

（解答）
関数y=3x−4において，xの値が5から7まで増加するとき，yの値は次の表のように変化する．

x	5	→	7
y	11	→	17

このとき，xの増加量は7−5=2
yの増加量は17−11=6
変化の割合は
$\frac{17-11}{7-5}=\frac{6}{2}=3$ …（答）

【例２】
　関数y=−2x+1において，xの値が−2から3まで増加するときの変化の割合を求めてください．

（解答）
関数y=−2x+1において，xの値が−2から3まで増加するとき，yの値は次の表のように変化する．

x	−2	→	3
y	5	→	−5

このとき，xの増加量は3−(−2)=5
yの増加量は−5−5=−10
変化の割合は
$\frac{-10}{5}=-2$ …（答）

■　このように，
「変化の割合」は，

で求めます．

　ｘの値でなくｘの増加量，ｙの値でなくｙの増加量で計算することになっています．

≪注意≫
　上の図２のように，ｙが減るときでも「ｙの増加量」といい言葉を使い「減る」ことはｙの増加量をマイナスにすることによって表します．
≪よくある間違い≫
　「ｘの増加量」「ｙの増加量」を求めるとき，
各々(最後の値)から(最初の値)を引きます．これを逆に覚えると間違います．

x	0	→	3
y	3	→	0

上の図２の例では
xの最初の値は0，最後の値は3だから

▼間違い→xの増加量：0−3=−3
◎正しい→xの増加量：3−0=3

yの最初の値は3，最後の値は0だから

▼間違い→yの増加量：3−0=3
◎正しい→yの増加量：0−3=−3

【問題】
　それぞれ正しいものを下の選択肢から選んでください．（正しいものをクリック）

(1)関数y=2x+1でxが0から3まで増加するときyの増加量を求めてください．

解説やり直す

1 2 3 4 5 6

	最初	→	最後
x	0	→	3
y	1	→	7

※正確に対応させること
※(最後)－(最初)にすること

x=0のときy=1
x=3のときy=7
yの増加量は7−1=6…（答）

→閉じる←

(2)関数y=−3x+5でxが1から3まで増加するときyの増加量を求めてください．

解説やり直す

−6 −3 −2 2 3 6

	最初	→	最後
x	1	→	3
y	2	→	−4

※正確に対応させること
※(最後)－(最初)にすること

x=1のときy=2
x=3のときy=−4
yの増加量は(−4)−(2)=−6…（答）

→閉じる←

(3)関数y=3x−4でxが2から5まで増加するときの変化の割合を求めてください．

解説やり直す

−3 −2 1 2 3 4

	最初	→	最後
x	2	→	5
y	2	→	11

※正確に対応させること
※(最後)－(最初)にすること

x=2のときy=2
x=5のときy=11
xの増加量は5−2=3
yの増加量は11−2=9
変化の割合は
$\frac{9}{3}=3$ …（答）

→閉じる←

(4)関数y=2x+1でxが−1から3まで増加するときの変化の割合を求めてください．

解説やり直す

−3 −2 1 2 3 4

	最初	→	最後
x	−1	→	3
y	−1	→	7

※正確に対応させること
※(最後)－(最初)にすること

x=−1のときy=−1
x=3のときy=7
xの増加量は(3)−(−1)=4
yの増加量は7−(−1)=8
変化の割合は
$\frac{8}{4}=2$ …（答）

→閉じる←

【変化の割合を求めるための裏技】

♪～ただし，覚えたら一時的には楽したと思うかもしれないが，
長い目で見ると毒になるかもしれない～♪

y=ax+bのとき，変化の割合を尋ねられたら，xの係数aを答えたらよい．

▼xが「どんな値から」「どんな値まで」変化しても「変化の割合」はいつも同じ
▼定数項bの値は「変化の割合」に関係ない

【例】

相似図形になるから，
縦÷横の比はどこで測っても同じになる

(1)関数y=2x+1で，xが0から1まで増加するとき
→　変化の割合は2
(2)関数y=2x+1で，xが0から3まで増加するとき
→　変化の割合は2
(3)関数y=2x+1で，xが−1から4まで増加するとき
→　変化の割合は2

≪式を使った解説≫
y=2x+1においてxがcからdまで増加するとき
→　変化の割合は
$\frac{(2d+ 1)-(2c+ 1)}{d-c}=\frac{2(d-c)}{d-c}=2$
となるから，cにもdにも影響されない．
さらに，定数項+1にも影響されない．

相似図形になるから，
縦÷横の比はどこで測っても同じになる

(4)関数y=3x−4で，xが0から5まで増加するとき
→　変化の割合は3
(5)関数y=3x−4で，xが−2から1まで増加するとき
→　変化の割合は3

≪式を使った解説≫
y=3x−4においてxがcからdまで増加するとき
→　変化の割合は
$\frac{(3d-4)-(3c-4)}{d-c}=\frac{3(d-c)}{d-c}=3$
となるから，cにもdにも影響されない．
さらに，定数項−4にも影響されない．

※以上のような訳で，1次関数（直線）の変化の割合は，xの係数を見たら即答え　ですが，この裏技は直線の場合しか使えないので，反比例のグラフや3年生で習う2次関数のグラフでも真似してしまうと間違います．
だから，どんな問題でも対応できるようにするには，地道に

「変化の割合」は

と言えるようにした方がよい．

(5)関数y=−x+3でxが−2から1まで増加するときの変化の割合を求めてください．

解説やり直す

−3 −2 −1 1 2 3

	最初	→	最後
x	−2	→	1
y	5	→	2

※正確に対応させること
※(最後)－(最初)にすること

x=−2のときy=5
x=1のときy=2
xの増加量は(1)−(−2)=3
yの増加量は(2)−(5)=−3
変化の割合は
$\frac{-3}{3}=-1$ …（答）

→閉じる←

(6)関数y=−3x+2でxが−4から−1まで増加するときの変化の割合を求めてください．

解説やり直す

−3 −2 −1 1 2 3

	最初	→	最後
x	−4	→	−1
y	14	→	5

※正確に対応させること
※(最後)－(最初)にすること

x=−4のときy=14
x=−1のときy=5
xの増加量は(−1)−(−4)=3
yの増加量は(5)−(14)=−9
変化の割合は
$\frac{-9}{3}=-3$ …（答）

→閉じる←

(7)関数y=0.2x+1.3でxが0.3から0.7まで増加するときの変化の割合を求めてください．

解説やり直す

0.01 0.02 0.03 0.1 0.2 0.3

	最初	→	最後
x	0.3	→	0.7
y	1.36	→	1.44

計算がゴチャゴチャしてきたら「裏技」で
xの係数を答えるのも悪くない（ここだけ=１次関数だけの話ということを忘れないこと）

x=0.3のときy=1.36
x=0.7のときy=1.44
xの増加量は(0.7)−(0.3)=0.4
yの増加量は(1.44)−(1.36)=0.08
変化の割合は
$\frac{0.08}{0.4}=\frac{8}{40}=0.2$ …（答）

→閉じる←

(8)関数y=−0.3x+0.4でxが−0.2から0.5まで増加するときの変化の割合を求めてください．

解説やり直す

−0.3 −0.2 −0.1 0.1 0.2 0.3

	最初	→	最後
x	−0.2	→	0.5
y	0.46	→	0.25

計算がゴチャゴチャしてきたら「裏技」で
xの係数を答えるのも悪くない（ここだけ=１次関数だけの話ということを忘れないこと）

x=−0.2のときy=0.46
x=0.5のときy=0.25
xの増加量は(0.5)−(−0.2)=0.7
yの増加量は(0.25)−(0.46)=−0.21
変化の割合は
$\frac{-0.21}{0.7}=\frac{-21}{70}=-0.3$ …（答）

→閉じる←

(9)関数 $y=\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}$ でxが $\frac{1}{2}$ から $\frac{3}{2}$ まで増加するときの変化の割合を求めてください．

解説やり直す

$\frac{1}{6}$ $\frac{1}{3}$ $\frac{1}{2}$ $\frac{2}{3}$ $\frac{5}{6}$ $\frac{3}{2}$

	最初	→	最後
x	$\frac{1}{2}$	→	$\frac{3}{2}$
y	$\frac{5}{6}$	→	$\frac{7}{6}$

計算がゴチャゴチャしてきたら「裏技」で
xの係数を答えるのも悪くない（ここだけ=１次関数だけの話ということを忘れないこと）

$x=\frac{1}{2}$ のとき $y=\frac{5}{6}$
$x=\frac{3}{2}$ のとき $y=\frac{7}{6}$
xの増加量は $\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1$
yの増加量は $\frac{7}{6}-\frac{5}{6}=\frac{1}{3}$
変化の割合は
$\frac{1}{3}\div 1=\frac{1}{3}$ …（答）

→閉じる←

(10)関数 $y=\frac{2x-4}{3}$ でxが−4から−1まで増加するときの変化の割合を求めてください．

解説やり直す

$\frac{1}{6}$ $\frac{1}{3}$ $\frac{1}{2}$ $\frac{2}{3}$ $\frac{5}{6}$ $\frac{3}{2}$

	最初	→	最後
x	−4	→	−1
y	−4	→	−2

計算がゴチャゴチャしてきたら「裏技」で
xの係数を答えるのも悪くない（ここだけ=１次関数だけの話ということを忘れないこと）
$y=\frac{2}{3}x-\frac{4}{3}$

x=−4のときy=−4
x=−1のときy=−2
xの増加量は(−1)−(−4)=3
yの増加量は(−2)−(−4)=2
変化の割合は
$\frac{2}{3}$ …（答）

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■［個別の頁からの質問に対する回答］[変化の割合について／17.4.6］

分からない
＝＞［作者］：連絡ありがとう．小学校で割合や分数が弱いと言われたことがありませんか？