複素数のいろいろな問題（数学Ⅱ）

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== 複素数のいろいろな問題（数学Ⅱ） ==

【複素数の相等】
a, b, c, dは実数とするとき
a+bi=c+di ⇔ a=c, b=d
特に
a+bi=0 ⇔ a=b=0

※上記の式は，「複素数の実部と虚部がそれぞれ等しい」とき，「２つの複素数は等しい」といい，等号（＝）を使って表す，という定義を述べたものなので，この式に対する証明というものは考えない．

　　《難易度の目安》
教科書レベルの基本問題★
参考書などでよく出る問題★★
大学入試問題★★★

【例1】　★
　次の等式が成り立つように，実数a, bの値を定めてください．
(a+bi)(1−i)=1+5i

（解答）
両辺を実部と虚部に分けて比較する
a−ai+bi−bi2=1+5i
(a+b)+(b−a)i=1+5i

a+b=1
b−a=5
この連立方程式を解くと
a=−2, b=3…（答）

（別解）方程式というよりは，単なる計算問題にする
$a+ bi=\frac{1+ 5i}{1-i}=\frac{(1+ 5i)(1+ i)}{1-i^2}$
$=\frac{1+ i+ 5i+ 5i^2}{2}=\frac{-4+ 6i}{2}=-2+ 3i$
a=−2, b=3…（答）

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以下の問題において，見ているだけでは解説は出ません．採点すれば解説が読めます．

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（解答）
両辺を実部と虚部に分けて比較する
2a+3ai+2bi+3bi2=1+8i
(2a−3b)+(3a+2b)i=1+5i

2a−3b=1
3a+2b=8
この連立方程式を解くと
a=2, b=1…（答）

（別解）方程式というよりは，単なる計算問題にする
$a+ bi=\frac{1+ 8i}{2+ 3i}=\frac{(1+ 8i)(2-3i)}{2^2+ 3^2}$
$=\frac{2+ 16i-3i+ 24}{13}=\frac{26+ 13i}{13}=2+ i$
a=2, b=1…（答）
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（解答）

（左辺）＝ $\frac{a}{1+ 2i}+\frac{b}{1-2i}=\frac{a(1-2i)}{(1-2i)(1+ 2i)}+\frac{b(1+ 2i)}{(1-2i)(1+ 2i)}$
$=\frac{a(1-2i)}{1-4i^2}+\frac{b(1+ 2i)}{1-4i^2}=\frac{a-2ai}{5}+\frac{b+ 2bi}{5}$
$=\frac{(a+ b)+ 2(-a+ b)i}{5}$
両辺を実部と虚部に分けて比較すると

a+b=4
−a+b=0
a=2, b=2…（答）
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（解答）

a(4+4i+i2)+b(4−4i+i2)=6
a(4+4i−1)+b(4−4i−1)=6
a(3+4i)+b(3−4i)=6
(3a+3b)+(4a−4b)i=6

3(a+b)=6
4(a−b)=0
すなわち

a+b=2
a=b
この連立方程式を解くと
a=1, b=1…（答）
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【複素数の実数条件ほか】
　 $z$ を複素数， $\bar{z}$ をその共役複素数とするとき
(1)　 $z$ が実数であるための必要十分条件は
$z=\bar{z}$
(2)　 $z$ が純虚数であるための必要十分条件は
$z+\bar{z}=0$

（解説）
　 $z$ の実部を $a$ ，虚部を $b$ （ $a,\hspace{2}b$ は実数）とおくと
$z=a+ bi$
$\bar{z}=a-bi$
となるから
(1)　 $z$ が実数 ⇔ $b=0$ ⇔ $z=\bar{z}$
　　が成り立つ
(2)　 $z$ が純虚数 ⇔ $a=0$ ⇔ $z+\bar{z}=0$
　　が成り立つ

　なお，２つの複素数 $\alpha,\hspace{2}\beta$ の和・差・積・商について，次の関係式が成り立つ（上記のように実部と虚部を比較すると証明できる）
　 $\bar{\alpha\pm\beta}=\bar{\alpha}\pm\bar{\beta}$ …(#1)
　 $\bar{\alpha\cdot\beta}=\bar{\alpha}\cdot\bar{\beta}$ …(#2)
　 $\bar{\big(\frac{\alpha}{\beta}\big)}=\frac{\bar{\alpha}}{\bar{\beta}}$ …(#3)

【例2】　★
　次の式が実数となるように実数xの値を定めてください．
(x+2i)(1−i)

（解答）
(x+2i)(1−i)=x−xi+2i−2i2
=(x+2)+(−x+2)i
が実数となるには
−x+2=0
x=2…（答）

（別解）
$(x+ 2i)(1-i)=\bar{(x+ 2i)(1-i)}$
となればよい．
$(x+ 2i)(1-i)=\bar{x+ 2i}\cdot\bar{1-i}$
$(x+ 2i)(1-i)=(x-2i)(1+ i)$
$\cancel{x}+ 2i-xi-\cancel{2i^2}=\cancel{x}-2i+ xi-\cancel{2i^2}$
$4i-2xi=0$
$2(2-x)i=0$
x=2…（答）

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（解答）

$\frac{4+ 2i}{a-i}=\frac{(4+ 2i)(a+ i)}{(a-i)(a+ i)}$
$=\frac{4a+ 2ai+ 4i+ 2i^2}{a^2-i^2}=\frac{(4a-2)+ (2a+ 4)i}{a^2+ 1}$
この式が実数になるには
2a+4=0
a=−2…（答）

（別解）
この問題を，複素数の実数条件（z=z）を使って解くこともできるが，次のようにやや長い答案になる．
$\frac{4+ 2i}{a-i}=\bar{\big(\frac{4+ 2i}{a-i}\big)}$
複素数の実数条件で述べた(1)と(#3)の公式を使って，右辺を変形すると
$\bar{\big(\frac{4+ 2i}{a-i}\big)}=\frac{\bar{4+ 2i}}{\bar{a-i}}=\frac{4-2i}{a+ i}$
したがって
$\frac{4+ 2i}{a-i}=\frac{4-2i}{a+ i}$
分母を払うと
$(4+ 2i)(a+ i)=(4-2i)(a-i)$
$(4+ 2i)(a+ i)=(4-2i)(a-i)$
$\cancel{4a}+ 2ai+ 4i+\cancel{2i^2}=\cancel{4a}-2ai-4i+\cancel{2i^2}$
$4ai+ 8i=0$
$4(a+ 2)i=0$
a=−2…（答）
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（解答）

$\frac{1+ i}{a+ i}=\frac{(1+ i)(a-i)}{(a+ i)(a-i)}$
$=\frac{a+ ai-i-i^2}{a^2-i^2}=\frac{(a+ 1)+ (a-1)i}{a^2+ 1}$
この式が純虚数になるには
a+1=0
a=−1…（答）
（別解）
この問題を，複素数の純虚数条件（z+z=0）を使って解くこともできるが，次のようにやや長い答案になる．
$\frac{1+ i}{a-i}+\bar{\big(\frac{1+ i}{a-i}\big)}=0$
複素数の実数条件で述べた(2)と(#3)の公式を使って，第２項を変形すると
$\frac{1+ i}{a-i}+\frac{1-i}{a+ i}=0$
分母を払う
$(1+ i)(a+ i)+ (1-i)(a-i)=0$
$a+ i+ ai+ i^2 + a-i-ai+ i^2=0$
$2a+ 2=0$
a=−1…（答）
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（解答）

xを実数解とすると
(x2+ax+2)−(x2+x+2a)i=0
となるから，実部，虚部を分けると

x2+ax+2=0…(1)
x2+x+2a=0…(2)
(1)−(2)により必要条件を絞る
x2+ax+2=0
) x2+x+2a=0

(a−1)x+2(1−a)=0
(a−1)(x−2)=0
ア） a=1のとき，(1)(2)から
x2+x+2=0
この２次方程式は，判別式がD=1−8<0となって実数解をもたないから，a=1は不適当
イ） a≠1のとき，x=2を(1)(2)に代入すると
2a+6=0
a=−3…（答）
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【複素数の値の代入】
　「x=a+biのとき，cx4+dx3+···+ex+fの値を求めよ」という形の問題では，xの値を3次式，4次式などに直接代入して「体力仕事」「根性物語」で答を出すこともできますが，そのやり方は「美的でない」「計算が複雑で間違いやすい」などの事情があって，歓迎されません．（部分点となる場合でも低評価です）．
　この形の問題では，xが満たす２次方程式などを利用して，下の例3のように「商と余りに分けて」，次数の低い「余りに代入する」というのが，昔からある十八番おはこ問題です．

【例3】　★★

　 $x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ のとき， $x^3+ 4x^2-4x+ 5$ の値を求めてください．

（解答）

$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ $\leftrightarrow 2x=-1+\sqrt{3}i$
$\leftrightarrow 2x+ 1=\sqrt{3}i$ $\rightarrow$ $(2x+ 1)^2=-3$
$\leftrightarrow 4x^2+ 4x+ 4=0\leftrightarrow$ $x^2+ x+ 1=0$

このように， $x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ のとき $x^2+ x+ 1$ の値が0になることを利用して，次のように変形する．
$x^3+ 4x^2-4x+ 5$ $=$ $(x^2+ x+ 1)$ $(x+ 3)$ $\hspace{2}-8x+ 2$
ここで， $x^2+ x+ 1=0$ だから
$x^3+ 4x^2-4x+ 5=0\times(x+ 3)-8x+ 2$
$=-8x+ 2=-8\times\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}+ 2=6-4\sqrt{3}i$ …（答）

（備考：重要）
•　この変形は，元の式＝割る式×商+余りと変形したときに，余りの次数は，必ず割る式の次数よりも小さいということを利用して，元の式に代入する代わりに，次数の低い余りに代入する所がポイント
• その場合に，割る式として0になる式を選んでいるので，その式が消えることを利用する
• なお，上記の変形において，作成した方程式，すなわち，割る式は，xの値の必要条件であって十分条件ではないことに注意．すなわち， $x^2+ x+ 1=0$ の解は，

$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ だけでなく， $x=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}$ も解であるが， $x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ ならば $x^2+ x+ 1=0$ は間違いなく成り立っているから，これを利用できる．
• 生徒が最も困るところは， $x^2+ x+ 1=0$ であるのならば， $x^2+ x+ 1$ で割るのは「反則」「数学で禁止されている」のではないか，ということであるが，上の答案をよく見てもらうと，割り算はどこにも書いてなく，掛け算が書いてあるのである．
$x^3+ 4x^2-4x+ 5$ $=$ $(x^2+ x+ 1)$ $(x+ 3)$ $\hspace{2}-8x+ 2$

それじゃあ，商と余りをどうやって計算したんだよ！

$x^3+ 4x^2-4x+ 5$ ÷ $(x^2+ x+ 1)$
$=$ $(x+ 3)$ … $\hspace{2}-8x+ 2$
　計算は下書き用紙に書いたので，表側には出てこない．

※
$x^3+ 4x^2-4x+ 5$ $=$ $(x^2+ x+ 1)$ $(x+ 3)$ $\hspace{2}-8x+ 2$
は，xの値と関係なく成り立つ恒等式の変形です
$x^3+ 4x^2-4x+ 5$ $=$ $0$ × $(x+ 3)$ $\hspace{2}-8x+ 2$

は， $x=\frac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}$ のときだけできる代入の作業です
だから，上記の答案で十分です．

♪～わかった～♪

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（解答）

$x=1+\sqrt{2}i\leftrightarrow x-1=\sqrt{2}i\rightarrow (x-1)^2=(\sqrt{2}i)^2$
$\leftrightarrow x^2-2x+ 1=-2\leftrightarrow x^2-2x+ 3=0$
$x^3-x^2-x-1=(x^2-2x+ 3)(x+ 1)-2x-4$
$=-2x-4=-2(1+\sqrt{2}i)-4=-6-2\sqrt{2}i$ …（答）
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（解答）

$z=-\sqrt{5}+ i\leftrightarrow z+\sqrt{5}=i\rightarrow(z+ \sqrt{5})^2=i^2$
$\leftrightarrow z^2+ 2\sqrt{5}z+ 5=-1\leftrightarrow z^2+ 2\sqrt{5}z+ 6=0$
次に
$z^4+\sqrt{5}z^3+ z^2+ 4\sqrt{5}z$
$=(z^2+ 2\sqrt{5}z+ 6)(z^2-\sqrt{5}z+ 5)-30$ だから
$z^4+\sqrt{5}z^3+ z^2+ 4\sqrt{5}z=-30$ …（答）
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（解答）

$\alpha=2-\sqrt{3}i$ のとき
$\alpha-2=-\sqrt{3}i\rightarrow (\alpha-2)^2=(-\sqrt{3}i)^2$
$\leftrightarrow \alpha^2-4\alpha+ 4=3i^2=-3$
$\leftrightarrow \alpha^2-4\alpha+ 7=0$
このとき
$\alpha^3-5\alpha^2+ 13\alpha-6=(\alpha^2-4\alpha+ 7)(\alpha-1)+ 2\alpha+ 1$
$= 2\alpha+ 1=2(2-\sqrt{3}i)+ 1=5-2\sqrt{3}i$ …（答）
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