円の方程式

== 円の方程式 ==

【中心が(a, b)で半径がrの円の方程式】
(x−a)2+(y−b)2=r2･･･(#1)
【円の方程式の一般形】
x2+y2+ax+by+c=0･･･(#2)

• 円の中心の座標や半径が「分かっているとき」は，円の方程式を(#1)の形で使うとよい．円の中心の座標や半径を「求めたいとき」は，(#1)の形に直せばよい．
• ３点を通る円の方程式=三角形の外接円の方程式を求めたいときは，(#2)の形が使いやすい.

=３点を通る円の方程式=

【例題1】
　３点A(4, 4), B(0, 2),C(6, 0)を通る円の方程式を求めてください．また，この円の中心の座標と半径も求めてください．

（解答）

•初心者がよくやる間違い

16+16+4x+4y+c=0
などと書いてしまう ##
•x, yに数字を代入しているのだから，x, yは残らない。a, bが残る．

求める円の方程式を
x2+y2+ax+by+c=0･･･(1)
とおく．
(1)が点A(4, 4)を通るから
16+16+4a+4b+c=0
32+4a+4b+c=0･･･(2)
(1)が点B(0, 2)を通るから
0+4+2b+c=0
4+2b+c=0･･･(3)
(1)が点C(6, 0)を通るから
36+0+6a+c=0
36+6a+c=0･･･(4)

cを消去して２文字にする：
(2)−(3)
28+4a+2b=0
2a+b=−14･･･(5)
(3)−(4)
−32−6a+2b=0
−3a+b=16･･･(6)
(5)−(6)
5a=−30
a=−6･･･(7)
(7)を(5)に代入
b=−2･･･(8)
(8)を(3)に代入
c=0･･･(9)
x2+y2−6x−2y=0･･･（答）

平方完成の変形を行うと，(x−3)2+(y−1)2=10になるから，中心の座標が(3, 1)で半径が $\sqrt{10}$ の円･･･（答）

【問題1-1】
　３点A(3,−1), B(−5, 5),C(−4,−2)を通る円の方程式を求めてください．また，この円の中心の座標と半径も求めてください．

［解説を読む］

求める円の方程式を
x2+y2+ax+by+c=0･･･(1)
とおく．
(1)が点A(3, −1)を通るから
9+1+3a−b+c=0
10+3a−b+c=0･･･(2)
(1)が点B(−5, 5)を通るから
25+25−5a+5b+c=0
50−5a+5b+c=0･･･(3)
(1)が点C(−4,−2)を通るから
16+4−4a−2b+c=0
20−4a−2b+c=0･･･(4)
cを消去して２文字にする：
(2)−(3)
−40+8a−6b=0
4a−3b=20･･･(5)
(3)−(4)
30−a+7b=0
a=7b+30･･･(6)
(6)を(5)に代入
4(7b+30)−3b=20
25b=−100
b=−4･･･(7)
(7)を(6)に代入
a=2･･･(8)
(7)(8)を(2)に代入
c=−20･･･(9)
x2+y2+2x−4y−20=0･･･（答）

平方完成の変形を行うと，(x+1)2+(y−2)2=25になるから，中心の座標が(−1, 2)で半径が5の円･･･（答） →解説を隠す←

【問題1-2】
　３点A(3, 5), B(−1, −1),C(4, 4)を通る円の方程式を求めてください．また，この円の中心の座標と半径も求めてください．

［解説を読む］

求める円の方程式を
x2+y2+ax+by+c=0･･･(1)
とおく．
(1)が点A(3, 5)を通るから
9+25+3a+5b+c=0
34+3a+5b+c=0･･･(2)
(1)が点B(−1, −1)を通るから
1+1−a−b+c=0
2−a−b+c=0･･･(3)
(1)が点C(4, 4)を通るから
16+16+4a+4b+c=0
32+4a+4b+c=0･･･(4)
cを消去して２文字にする：
(2)−(3)
32+4a+6b=0
2a+3b=−16･･･(5)
(3)−(4)
−30−5a−5b=0
a+b=−6･･･(6)
(5)−(6)×2
b=−4･･･(7)
(7)を(6)に代入
a=−2･･･(8)
(7)(8)を(2)に代入
c=−8･･･(9)
x2+y2−2x−4y−8=0･･･（答）

平方完成の変形を行うと，(x−1)2+(y−2)2=13になるから，中心の座標が(1, 2)で半径が $\sqrt{13}$ の円･･･（答） →解説を隠す←

【２定点A(x1, y1), B(x2, y2)を直径の両端とする円の方程式】
(x−x1)(x−x2)+(y−y1)(y−y2)=0･･･(#3)

(3)の証明は，次のようにできる．
　中学校で習う円周角の定理のうちで，特に，「直径の上に立つ円周角は90°」という性質がある．
　右図のようにABが直径であれば，AP⊥BPになる．
ア）x≠x1, x2のとき

　APの傾きは $m=\frac{y-y_1}{x-x_1}$
　BPの傾きは $m^{\tiny\prime}=\frac{y-y_2}{x-x_2}$
　ABを直径とする円周上に点Pが直径があるためには，2直線の垂直条件を満たすことが条件となる
$mm^{\tiny\prime}=\frac{y-y_1}{x-x_1}\cdot\frac{y-y_2}{x-x_2}=-1$
$(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0$
　ア）だけでは，2点A, Bは除外点となり，右図のように穴が開いているが，ABを直径とする円周としては，∠APB=90°とならなくても，2点A, Bを円周に含める．すなわち
イ）x=x1のとき
y=y1
ウ）x=x2のとき
y=y2
　以上のアイウより，(x−x1)(x−x2)+(y−y1)(y−y2)=0を満たす点は，ABを直径とする円の全体を表す．ABを直径とする円の全体は，(x−x1)(x−x2)+(y−y1)(y−y2)=0で表される.

• (3)は無理に覚えなくても，A, Bの中点を中心とする，

半径 $\frac{AB}{2}$ の円の方程式を求めたらよい．

=2点を直径の両端とする円=

【例題2】
　2点A(5, 0), B(−1, 2)を直径の両端とする円の方程式を求めてください．また，この円の中心の座標と半径も求めてください．

（解答）
　求める円の中心は，2点A, Bの中点Mと一致する．中点の座標は
$\Bigl(\frac{5-1}{2},\hspace{1}\frac{0+ 2}{2}\Bigr)=(2,\hspace{1}1)$
　直径の長さはABで半径の長さはAMに等しい
$r=\sqrt{(2-5)^2+(1-0)^2}=\sqrt{10}$
　中心の座標はM(2, 1)，半径は $\sqrt{10}$ ･･･（答）
　円の方程式は
$(x-2)^2+(y-1)^2=10$ ･･･（答）

（別解）･･･(#3)の公式を使う
(x−5)(x+1)+y(y−2)=0 x2+y2−4x−2y−5=0･･･（答）
(x−2)2+(y−1)2=10だから，中心M(2, 1)，半径 $\sqrt{10}$ の円･･･（答）

【問題2-1】
　2点A(−1, 3), B(5, −1)を直径の両端とする円の方程式を求めてください．また，この円の中心の座標と半径も求めてください．

［解説を読む］

　求める円の中心は，2点A, Bの中点Mと一致する．中点の座標は
$\Bigl(\frac{-1+ 5}{2},\hspace{1}\frac{3-1}{2}\Bigr)=(2,\hspace{1}1)$
　直径の長さはABで半径の長さはAMに等しい
$r=\sqrt{(2+ 1)^2+(1-3)^2}=\sqrt{13}$
　中心の座標はM(2, 1)，半径は $\sqrt{13}$ ･･･（答）
　円の方程式は
$(x-2)^2+(y-1)^2=13$ ･･･（答）

（別解）･･･(#3)の公式を使う
(x+1)(x−5)+(y−3)(y+1)=0 x2+y2−4x−2y−8=0･･･（答）
(x−2)2+(y−1)2=13だから，中心M(2, 1)，半径 $\sqrt{13}$ の円･･･（答）
→解説を隠す←

【問題2-2】
　2点A(−2, 5), B(4, −3)を直径の両端とする円の方程式を求めてください．また，この円の中心の座標と半径も求めてください．

［解説を読む］

　求める円の中心は，2点A, Bの中点Mと一致する．中点の座標は
$\Bigl(\frac{-2+ 4}{2},\hspace{1}\frac{5-3}{2}\Bigr)=(1,\hspace{1}1)$
　直径の長さはABで半径の長さはAMに等しい
$r=\sqrt{(1+ 2)^2+(1-5)^2}=\sqrt{25}=5$
　中心の座標はM(1, 1)，半径は $5$ ･･･（答）
　円の方程式は
$(x-1)^2+(y-1)^2=25$ ･･･（答）

（別解）･･･(#3)の公式を使う
(x+2)(x−4)+(y−5)(y+3)=0 x2+y2−2x−2y−23=0･･･（答）
(x−1)2+(y−1)2=25だから，中心M(1, 1)，半径 $5$ の円･･･（答）
→解説を隠す←

=座標軸と接する円=

【例題3】
(1) 中心が(2,−3)で，x軸に接する円の方程式を求めてください．
(2) 中心が(−3, 4)で，y軸に接する円の方程式を求めてください．
(3) 2点(1, 5), (2, 6)を通り，y軸に接する円の方程式を求めてください．
(4) 点(1, −2)を通り，x軸とy軸の両方に接する円の方程式を求めてください．

（解答）

(1)(2)は図で考えると簡単

(1)
右図1のように，|中心のy座標|は半径に等しいから，円の方程式は
$(x-2)^2+(y+ 3)^2=9$ ･･･（答）
(2)
右図2のように，|中心のx座標|は半径に等しいから，円の方程式は
$(x+ 3)^2+(y-4)^2=9$ ･･･（答）
(3)

第1象限の点を通り，y軸に接する円だから
$(x-r)^2+(y-b)^2=r^2$
とおける．
(1, 5)を通るから
$(1-r)^2+(5-b)^2=r^2$ ･･･①
(2, 6)を通るから
$(2-r)^2+(6-b)^2=r^2$ ･･･②
①②を未知数r, bに関する連立方程式として解く
r=1, b=6より
$(x-1)^2+(y-6)^2=1$ ･･･（答）
r=5, b=2より
$(x-5)^2+(y-2)^2=25$ ･･･（答）
(4)
中心は第4象限にあるから，円の方程式は
$(x-r)^2+(y+ r)^2=r^2$
とおける．この円が点(1, −2)を通るから
$(1-r)^2+(-2+ r)^2=r^2$
$r^2-6r+ 5=0$
$(r-1)(r-5)=0$
ア） r=1のとき1
$(x-1)^2+(y+ 1)^2=1$ ･･･（答）
イ） r=5のとき1
$(x-5)^2+(y+ 5)^2=25$ ･･･（答）

【問題3-1】
(1) 中心が(−3, 4)で，x軸に接する円の方程式を求めてください．
(2) 中心が(−1, −2)で，y軸に接する円の方程式を求めてください．
(3) 2点(−1, 2), (0, 1)を通り，x軸に接する円の方程式を求めてください．
(4) 点(−2, 1)を通り，x軸とy軸の両方に接する円の方程式を求めてください．

［解説を読む］

(1)
中心のy座標の絶対値は半径に等しいから，円の方程式は
$(x+ 3)^2+(y-4)^2=16$ ･･･（答）
(2)
中心のx座標の絶対値は半径に等しいから，円の方程式は
$(x+ 1)^2+(y+ 2)^2=1$ ･･･（答）
(3)
x軸よりも上にある点を通り，x軸に接する円だから，中心のy座標は半径に等しい．
$(x-a)^2+(y-r)^2=r^2$
とおける．
(−1, 2)を通るから
$(-1-a)^2+(2-r)^2=r^2$
$a^2+ 2a+ 5-4r=0$ ･･･①
(0, 1)を通るから
$(-a)^2+(1-r)^2=r^2$
$a^2+ 1-2r=0$ ･･･②
①②を未知数r, aに関する連立方程式として解く
r=1, a=−1より
$(x+ 1)^2+(y-1)^2=1$ ･･･（答）
r=5, a=3より
$(x-3)^2+(y-5)^2=25$ ･･･（答）
(4)
中心は第2象限にあるから，円の方程式は
$(x+ r)^2+(y-r)^2=r^2$
とおける．この円が点(−2, 1)を通るから
$(-2+ r)^2+(1-r)^2=r^2$
$r^2-6r+ 5=0$
$(r-1)(r-5)=0$
ア） r=1のとき1
$(x+ 1)^2+(y-1)^2=1$ ･･･（答）
イ） r=5のとき1
$(x+ 5)^2+(y-5)^2=25$ ･･･（答）
→解説を隠す←

=三角形の外接円の方程式=

【例題4】
　３直線2x−3y+7=0, x+5y−3=0, 5x−y−15=0で囲まれた三角形の外接円の方程式を求めてください．

• 直線の交点を３つ求めて，３点を通る円の方程式として解くとよい．この方法は地味で計算量が多いが，着実にできる．
• 後で述べる参考答案のように，3直線から直接に円の方程式を求めることもできそうだが，考え方が難しく，計算も簡単ではない．（メリットは「目が覚める」ことだけ）

（解答）
2x−3y+7=0･･･(1)，x+5y−3=0･･･(2)，5x−y−15=0･･･(3)とする．
連立方程式(1)(2)から交点を求めると，A(−2, 1)
連立方程式(2)(3)から交点を求めると，B(3, 0)
連立方程式(3)(1)から交点を求めると，C(4, 5)
　これらの3点A, B, Cを通る円の方程式を
$x^2+ y^2+ ax+ by+ c=0$
とおく．
Aを通るから
$4+ 1-2a+ b+ c=0$ ･･･(4)
Bを通るから
$9+ 0+ 3a+ 0+ c=0$ ･･･(5)
Cを通るから
$16+ 25+ 4a+ 5b+ c=0$ ･･･(6)
(4)(5)(6)の連立方程式を解くと，a=−2, b=−6, c=−3
$x^2+ y^2-2x-6y-3=0$ ･･･（答）

（参考）･･･難しい

※この答案は，今までに他で見たことはなく，独自に作ったものなので，解き方が試験に出る可能性はありません．高校レベルで証明できますが，納得できるものか，使えるものかを読者自身が確かめてください．

　2文字x, yを含む方程式で，①［x, yの係数が等しく(≠0)］，②［xyの項がない］とき，例えば
$nx^2+ ny^2+ ax+ by+ c=0$ (n≠0)
のとき，両辺をnで割ると
$x^2+ y^2+ a^{\tiny\prime}x+ b^{\tiny\prime}y+ c^{\tiny\prime}=0$
となるから，これを満たす点が複数個あれば，円を表すはずである．
　ところで
(2x−3y+7)(x+5y−3)+h(x+5y−3)(5x−y−15)
+k(5x−y−15)(2x−3y+7)=0･･･(**1)
とおくと

• (1)(2), (2)(3), (3)(1)の交点を通る．
• ①②の条件を満たすようにh, kを定めることができる．
このとき(**1)は(1)(2), (2)(3), (3)(1)の交点を通る円の方程式を表す．

(**1)において
x2の係数は，2+5h+10k
y2の係数は，−15−5h+3k
xyの係数は，7+24h−17k
そこで

2+5h+10k=−15−5h+3k
7+24h−17k=0
を解くと，h=−1, k=−1となるから，求める円の方程式は
(2x−3y+7)(x+5y−3)−(x+5y−3)(5x−y−15)
−(5x−y−15)(2x−3y+7)=0
とおける．これを展開すると
$-13x^2-13y^2+ 26x+ 78y+ 39=0$
$x^2+ y^2-2x-6y-3=0$ ･･･（答）

【問題4-1】
　３直線x+3y+4=0, 7x+y+8=0, 2x+y−2=0で囲まれた三角形の外接円の方程式を求めてください．

［解説を読む］

x+3y+4=0･･･(1)，7x+y+8=0･･･(2)，2x+y−2=0･･･(3)とする．
連立方程式(1)(2)から交点を求めると，A(−1, −1)
連立方程式(2)(3)から交点を求めると，B(−2, 6)
連立方程式(3)(1)から交点を求めると，C(2, −2)
　これらの3点A, B, Cを通る円の方程式を
$x^2+ y^2+ ax+ by+ c=0$
とおく．
Aを通るから
$1+ 1-a-b+ c=0$ ･･･(4)
Bを通るから
$4+ 36-2a+ 6b+ c=0$ ･･･(5)
Cを通るから
$4+ 4+ 2a-2b+ c=0$ ･･･(6)
(4)(5)(6)の連立方程式を解くと，a=−4, b=−6, c=−12
$x^2+ y^2-4x-6y-12=0$ ･･･（答）

（別解）
(x+3y+4)(7x+y+8)+h(7x+y+8)(2x+y−2)
+k(2x+y−2)(x+3y+4)=0･･･(**1)
とおく
(**1)において
x2の係数は，7+14h+2k
y2の係数は，3+h+3k
xyの係数は，22+9h+7k
そこで

7+14h+2k=3+h+3k
22+9h+7k=0

を解くと， $h=-\frac{1}{2},\hspace{1}k=-\frac{5}{2}$ となるから，求める円の方程式は
2(x+3y+4)(7x+y+8)−(7x+y+8)(2x+y−2)
−5(2x+y−2)(x+3y+4)=0
とおける．これを展開すると
$-10x^2-10y^2+ 40x+ 60y+ 120=0$
$x^2+ y^2-4x-6y-12=0$ ･･･（答）
→解説を隠す←

【問題4-2】
　３直線4x+3y−1=0, 7x−y−8=0, x+7y−44=0で囲まれた三角形の外接円の方程式を求めてください．

［解説を読む］

4x+3y−1=0･･･(1)，7x−y−8=0･･･(2)，x+7y−44=0･･･(3)とする．
連立方程式(1)(2)から交点を求めると，A(1, −1)
連立方程式(2)(3)から交点を求めると，B(2, 6)
連立方程式(3)(1)から交点を求めると，C(−5, 7)
　これらの3点A, B, Cを通る円の方程式を
$x^2+ y^2+ ax+ by+ c=0$
とおく．
Aを通るから
$1+ 1+ a-b+ c=0$ ･･･(4)
Bを通るから
$4+ 36+ 2a+ 6b+ c=0$ ･･･(5)
Cを通るから
$25+ 49-5a+ 7b+ c=0$ ･･･(6)
(4)(5)(6)の連立方程式を解くと，a=4, b=−6, c=−12
$x^2+ y^2+ 4x-6y-12=0$ ･･･（答）

（別解）
(4x+3y−1)(7x−y−8)+h(7x−y−8)(x+7y−44)
+k(x+7y−44)(4x+3y−1)=0･･･(**1)
とおく
(**1)において
x2の係数は，28+7h+4k
y2の係数は，−3−7h+21k
xyの係数は，17+48h+31k
そこで

28+7h+4k=−3−7h+21k
17+48h+31k=0

を解くと，h=−1, k=1となるから，求める円の方程式は
(4x+3y−1)(7x−y−8)−(7x−y−8)(x+7y−44)
+(x+7y−44)(4x+3y−1)=0
とおける．これを展開すると
$25x^2+ 25y^2+ 100x-150y-300=0$
$x^2+ y^2+ 4x-6y-12=0$ ･･･（答）
→解説を隠す←

=与えられた直線上に中心がある円の方程式=

【例題5】
　中心が直線y=2x+1上にあり，原点O(0, 0)と点P(−2, 4)を通る円の方程式を求めてください．

（解答）
求める円の方程式を
$(x-p)^2+(y-q)^2=r^2$ ･･･(1)
とおく．
中心(p, q)が直線y=2x+1上にあるから
$q=2p+ 1$ ･･･(2)
(1)が原点O(0, 0)を通るから
$(-p)^2+(-q)^2=r^2$ ･･･(3)
(1)が点P(−2, 4)を通るから
$(-2-p)^2+(4-q)^2=r^2$ ･･･(4)

未知数p, q, rを未知数として，連立方程式(2)(3)(4)を解く．

$q=2p+ 1$ ･･･(2)
$p^2+ q^2=r^2$ ･･･(3’)
$p^2+ 4p+ 4+ q^2-8q+ 16=r^2$ ･･･(4’)
(4')−(3')
$4p-8q+ 20=0$
$p-2q+ 5=0$ ･･･(5)
(2)を(5)に代入
$p-2(2p+ 1)+ 5=0$
$p=1$
(2)(3)に戻すと，他の２つの未知数も求まる．
$p=1,\hspace{1}q=3,\hspace{1}r=\sqrt{10}$
以上から
$(x-1)^2+(y-3)^2=10$
すなわち
$x^2+ y^2-2x-6y=0$ ･･･（答）

【問題5-1】
　中心が直線2x−y=1上にあり，２点(−2, −3), (4, 5)を通る円の方程式を求めてください．

［解説を読む］

　 $(x-p)^2+(y-q)^2=r^2$ とおいて，未知数３個の連立方程式にしてもよいが，中心が直線2x−y=1上にあるのだから，q=2px−1とおける．
　そこで， $(x-p)^2+(y-2p+ 1)^2=r^2$ とおくと，未知数2個の連立方程式にできる．

求める円の方程式を
$(x-p)^2+(y-2p+ 1)^2=r^2$ ･･･(1)
とおく．
(1)が(−2, −3)を通るから
$(-2-p)^2+(-3-2p+ 1)^2=r^2$
$p^2+ 4p+ 4+ 4p^2+ 8p + 4=r^2$ )
$5p^2+ 12p+ 8=r^2$ ･･･(2)
(1)が(4, 5)を通るから
$(4-p)^2+(5-2p+ 1)^2=r^2$
$5p^2-32p+ 52=r^2$ ･･･(3)
(2)−(3)
$44p=44$
(2)に戻すと
$r=5\hspace{2}(\gt 0)$
以上から
$(x-1)^2+(y-1)^2=25$ ･･･（答）
→解説を隠す←

【問題5-2】
中心が直線2x−3y+3=0上にあり,２点(2, 1), (5, 4)を通る円の方程式を求めてください．

［解説を読む］

求める円の方程式を
$(x-p)^2+(y-q)^2=r^2$ ･･･(1)
とおく．
円の中心が直線2x−3y+3=0上にあるから
$2p-3q+ 3=0$ ･･･(2)
(1)が(2, 1)を通るから
$(2-p)^2+(1-q)^2=r^2$
$p^2-4p+ 4+ q^2-2q + 1=r^2$ ･･･(3)
(1)が(5, 4)を通るから
$(5-p)^2+(4-q)^2=r^2$
$p^2-10p+ 25+ q^2-8q+ 16=r^2$ ･･･(4)
(3)−(4)
$6p+ 6q-36=0$
$p+ q-6=0$ ･･･(5)
(2)−(5)×2
$-5q+ 15=0$
$q=3$
(2)(3)に戻すと
$p=3,\hspace{2}r=\sqrt{5}\hspace{2}(\gt 0)$
以上から
$(x-3)^2+(y-3)^2=5$ ･･･（答）
→解説を隠す←

...メニューに戻る