■２直線の平行条件・垂直条件
【２直線の平行条件】
　複素数平面上に４点A(z1 ), B(z2 ), C(z3 ), D(z4 ) があるとき，AB//CDとなるための条件は
z4−z3=k(z2−z1 )
となる実数kが存在すること．
k>0のときは同じ向きに平行
k<0のときは逆向きに平行
（解説）
　右図１において，ABを引き延ばして（または縮めて）CDを重なれば，AB//CDとなります．
　また，AB//CDならば，このような実数kが必ず定まります．
=（実数）と考えてもよい．
【３点が１直線上にあるための条件】
　複素数平面上に３点A(z1 ), B(z2 ), C(z3 )があるとき，これらの３点が１直線上にあるための条件は
z3−z1=k(z2−z1 )
となる実数kが存在すること．
0<k<1のときはA,C,Bの順に並ぶ
k>1のときはA,B,Cの順に並ぶ
k<0のときはC,A,Bの順に並ぶ
（解説）
　右図２の通り
　なお，赤で示したようにABを引き延ばして（または縮めて）ACに重ならなければ１直線上になく，１直線上になければABを引き延ばして（または縮めて）ACに重ならない．
=（実数）と考えてもよい．
【例１】
複素数平面上の４点A(−1+i), B(1+4i), C(3+3i), D(1+yi)について，AB//CDとなるように，実数yの値を定めてください．
（解答）
AB : 2+3i , CD : −2+(y−3)iだから
AB//CDとなるためには
2+3i=k{ −2+(y−3)i }
となることが条件となる．
2=−2k , 3=k(y−3)
より
y=0 (k=−1)…（答）
図１
図２
【例２】
複素数平面上の３点A(1+3i), B(i), C(x−i)が１直線上にあるように，実数xの値を定めてください．
（解答）
AB : −1−2i , AC : (x−1)−4iだから
(x−1)−4i=k(−1−2i)
となることが条件となる．
x−1=−k , −4=−2k
より
x=−1 (k=2)…（答）

【２直線の⊥条件】
　複素数平面上に４点A(z1 ), B(z2 ), C(z3 ), D(z4 ) があるとき，AB⊥CDとなるための条件は
z4−z3=ki(z2−z1 )
となる実数kが存在すること．
（解説）
AB : z2−z1 , CD : z4−z3だから
i(z2−z1 )
はABを反時計回りに回転したものになる．
したがって，
ア）　k>0のときは，反時計回りに回転して拡大縮小したものがCDと一致する．
イ）　k<0のときは，時計回りに回転して拡大縮小したものがCDと一致する．
　いずれの場合も，
z4−z3=ki(z2−z1 )　（kは実数）
となれば，AB⊥CDとなる．
=（純虚数）と考えてもよい．
図３
【例３】
複素数平面上の３点A(i), B(3+2i), C(x)について，AC⊥BCとなるように，実数xの値を定めてください．
（解答）
AC : x−i , BC : (x−3)−2iだから
(x−3)−2i=ki(x−i)　（kは実数）
となることが条件となる．
x−3=k , −2=kx
−2=(x−3)x
x2−3x+2=0
(x−1)(x−2)=0
x=1, 2
より
x=1, 2 (k=−2, −1)…（答）
【例４】
複素数平面上の３点A(z1 ), B(z2 ), C(z3 )について，
z3−z1=(1+i)(z2−z1)
が成り立つとき，AB⊥BCとなることを示してください．
（解答）
BC : z3−z2
に，z3=(1+i)(z2−z1 )+z1=(1+i)z2−iz1
を代入すると
z3−z2=(1+i)z2−iz1−z2
=iz2−iz1=i(z2−z1 )
となるから
AB : z2−z1 を90°回転したものがBC : z3−z2になる．

【問題】
(1)複素数平面上の４点A(−1+2i) , B(1+3i) , C(1+2i) , D(2)について，次のうちで正しいものを選んでください．


AB//CD AB⊥CD AC//BD AC⊥BD
(2)複素数平面上の４点A(1+i) , B(−1+4i) , C(−2+3i) , D(2+yi)について，AB//CDとなるように実数yの値を定めてください．


y=−3 y=−2 y=2 y=3
(3)複素数平面上の４点A(1+i) , B(−1+4i) , C(−2+3i) , D(x+5i)について，AB⊥CDとなるように実数xの値を定めてください．


x=−2 x=−1 x=1 x=2
(4)３点A(−1+3i) , B(4−2i) , C(x+2i)が１直線上にあるように実数xの値を定めてください．


x=0 x=1 x=2 x=3
(5)複素数平面上の３点A(z1 ), B(z2 ), C(z3 )について，
z3−z1=(1+i)(z2−z1)
が成り立つとき，次のうち正しいものを選んでください．


３点A,B,Cは１直線上にある
AB⊥BC
AC⊥CB
BA⊥AC
(6)複素数平面上の３点A(−2+2i), B(4+4i), C(x)について，ABを直径の両端とする円周上に点Cがくるように実数xの値を定めてください．


x=0, 1
x=0, 2
x=1, 2
x=1, 3
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