《問題》 p,q,r,...は条件を,A,B,C,...は集合,は空集合を表わすものとするとき,次の( )に入る語句を下の選択肢から1つ選びなさい.
1
必要十分必要十分
必要でも十分でもないpはqであるための必要条件,
qはrであるための十分条件であるとき, pであることはrであるための( )条件 (ヒント)↓ |
2
必要十分必要十分
必要でも十分でもない
pはqであるための必要条件,
qはrであるための必要十分条件, sはrであるための十分条件 であるとき, sはpであるための( )条件 (ヒント)↓ |
3
必要十分必要十分必要でも十分でもないpはqであるための必要条件,
qはrであるための必要条件, rはsであるための必要条件, sはpであるための必要条件 であるとき, rはpであるための( )条件 (ヒント)↓ |
4
必要十分必要十分必要でも十分でもないpはqであるための十分条件,
qはrであるための十分条件, rはsであるための十分条件, sはqであるための十分条件 であるとき, sはpであるための( )条件 (ヒント)↓ |
5
必要十分必要十分必要でも十分でもないC⊂AまたはC⊂B であることは,
C⊂A∪B であるための( )条件 (ヒント)↓ |
6
必要十分必要十分必要でも十分でもないA∩B⊃A∪B であることは,
A=B であるための( )条件 (ヒント)↓ |
7
必要十分必要十分必要でも十分でもないA∪C⊃B∪C となるCが存在することは,
A⊃B であるための( )条件 (ヒント)↓ |
8
必要十分必要十分必要でも十分でもないA∩B≠,B∩C≠,C∩A≠は
A∩B∩C≠であるための( )条件 (ヒント)↓
であってもだとは言えないことをいうには,反例:であって,かつとなる例を1つ示せばよい.
のとき,であって,かつだから,十分条件ではない. は次のように証明できる. ,,だから,ならば,,,となるから, |
9
必要十分必要十分必要でも十分でもないすべてのCについてA∩C⊃B∩C となることは,
A⊃B であるための( )条件 (ヒント)↓
すべてのCについて(どんなCについても)成り立つならば,当然ある特定のCについても成り立たなければなりません.だから,例えばC=U(全体集合)である場合,C=φ(空集合),C=A,C=Bである場合にも成り立たなければなりません.
つまり,「すべてのCについて○○」に対して「あるCについて○○」は必要条件になります. そこで,いくつかのCについてこのような必要条件を試してみて,捜査の範囲を絞ります.特にC=U(全体集合)とき,A⊃Bとなり,これが必要条件です.(この問題では,他の場合に得られる結論は当然成り立つものばかりです) 次に,A⊃Bのとき,「すべてのCについてA∩C⊃B∩Cとなる」となるかどうか調べます.(十分条件が成り立っているかどうかを調べます) A⊃Bのときは次の図において×印の箇所がないので「すべてのCについてA∩C⊃B∩Cとなる」ことがいえます.(十分条件も成立します) 問題文では「すべてのCについてA∩C⊃B∩C」となることを主語としているので,上記の論理と主客を反対に答えて,前半では十分条件,後半では必要条件が成立していることになります. |
10
必要十分必要十分必要でも十分でもないA⊃B,B⊃C,C⊃A は,
A=B=C であるための( )条件 (ヒント)↓ |
11
(1) (2) (3) (4)次のにあてはまるものを下の中から番号で答えよ. 命題「PならばQ」がなりたつとする.このとき,命題「PならばR」が成り立つことは,命題「QならばR」がなりたつための.また,命題「RならばP」が成り立つことは,命題「RならばQ」がなりたつための.
(1) 必要十分条件である (2) 必要条件であるが,十分条件とは限らない (3) 十分条件であるが,必要条件とは限らない (4) 必要条件とも,十分条件とも限らない ・・・・「東京理科大学 S57年度入試問題」の引用
(ヒント)↓ (1) (2) (3) (4) (ヒント)↓ |
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