センター試験.2次方程式.2次関数

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== センター試験.2次方程式.2次関数(2013～) ==

【2013年度センター試験.数学Ⅰ･数学A】第2問

　座標平面上にある点Pは，点A(−8, 8)から出発して，直線y=−x上をx座標が1秒あたり2増加するように一定の速さで動く。また，同じ座標平面上にある点Qは，点PがAを出発すると同時に原点Oから出発して，直線y=10x上をx座標が1秒あたり1増加するように一定の速さで動く。出発してからt秒後の2点P, Qを考える。点PがOに達するのはt=アのときである。以下，0<t<アで考える。

(1)　点Pとx座標が等しいx軸上の点をP', 点Qとx座標が等しいx軸上の点をQ'とおく。△OPP'と△OQQ'
の面積の和Sをtで表せば

S=イt2−ウエt+オカ

となる。これより0<t<アにおいては，t=

キ

ク

で，Sは最小値

ケコサ

シ

をとる。

［解答を見る］

　点Pのx座標は，x=−8から出発して，x座標が1秒あたり2増加するように一定の速さで動くから
x=−8+2t
原点に到達するのは
−8+2t=0
t=4→ア
(1)
△OPP'=OP'×PP'/2=(8−2t)2/2=2t2−16t+32
△OQQ'=OQ'×QQ'/2=t×10t/2=5t2
S=7t2−16t+32→イ，ウエ，オカ

♪～勝手に批評～♪，♣～筆者の感想～♥
　ここまでは，高校入試レベルの問題です．ほぼ全員が正解になり，この問題で差は付きません．早合点，計算ミスを防いで確実に取れるようにしましょう．

$S=7(t^2-\frac{16}{7}t)+ 32=7\{(t-\frac{8}{7})^2-\frac{64}{49}\}+ 32$
$=7(t-\frac{8}{7})^2-\frac{64}{7}+ 32=7(t-\frac{8}{7})^2+\frac{160}{7}$

$t=\frac{8}{7}$ のとき，最小値 $S=\frac{160}{7}$ をとる→キク，ケコサシ

♪～勝手に批評～♪，♣～筆者の感想～♥
　教科書レベルの問題です．ほぼ全員が正解になり，この問題で差は付きません．早合点，計算ミスを防いで確実に取れるようにしましょう．

→解答を隠す←

　次に，aを0<a<ア−1を満たす定数とする。以下，a≦t≦a+1におけるSの最小・最大について考える。

(i)　Sがt=

キ

ク

で最小となるようなaの値の範囲は

ス

セ

≦a≦

ソ

タ

である。

(ii)　Sがt=aで最大となるようなaの値の範囲は

0<a≦

チ

ツテ

である。

［解答を見る］

0<a<3のとき，(0<)a≦t≦a+1(<4)において
(i)
$S=7(t-\frac{8}{7})^2+\frac{160}{7}$
が， $t=\frac{8}{7}$ のとき，最小値となるのは

$a\underset{=}{\lt}\frac{8}{7}$ かつ $\frac{8}{7}\underset{=}{\lt}a+ 1$ のとき
すなわち

$\frac{1}{7}\underset{=}{\lt}a\underset{=}{\lt}\frac{8}{7}$ のとき→スセソタ

(ii)
t=aで最大となるのは，右図において，軸が区間a≦t≦a+1の右半分（境界を含む）にあるとき
$0\lt a\underset{=}{\lt}\frac{8}{7}-0.5=\frac{9}{14}$ →チツテ

∀～勝手に批評～∃，∅～筆者の感想～♪♪
　定義域の区間が変数になっている問題は，教科書傍用問題集などで幾つか練習しておき，確実に得点できるようにしましょう．

→解答を隠す←

(2)　3点O, P,Qを通る2次関数のグラフが関数y=2x2

のグラフを平行移動したものになるのは，t=

ト

ナ

のときであり，x軸方向に

ニヌ

ネ

，y軸方向に

ノハヒ

フ

だけ平行移動すればよい。

［解答を見る］

(2)
y=2x2のグラフを平行移動したものは
y=2x2+Ax+B･･･(#1)とおける（A, Bは定数）
3点O(0, 0), P(−8+2t, 8−2t),Q(t, 10t)が(#1)上にあるには，次の3つの条件を満たさなければならない

0=B･･･(#2)
8−2t=2(−8+2t)2+A(−8+2t)+B･･･(#3)
10t=2t2+At+B･･･(#4)
(#2)を(#3)(#4)に代入する

8−2t=2(−8+2t)2+A(−8+2t)･･･(#5)
10t=2t2+At･･･(#6)
(#6)からt=0（t>0だから，この可能性はない）またはA=10−2t･･･(#7)
(#7)を(#5)に代入する
8−2t=2(−8+2t)2+(10−2t)(−8+2t)
4−t=(−8+2t)2+(10−2t)(−4+t)
4−t=4t2−32t+64−40+18t−2t2
2t2−13t+20=0
(2t−5)(t−4)=0
(0<)a≦t≦a+1(<4)だから $t=\frac{5}{2}$ →トナ

$A=10-2\times\frac{5}{2}=5,\hspace{5}B=0$
$y=2x^2+ 5=2(x^2+\frac{5}{2}x)=2\{(x+\frac{5}{4})^2-\frac{25}{16}\}$
$=2(x+\frac{5}{4})^2-\frac{25}{8}$
は，y=2x2のグラフを，x軸方向に $-\frac{5}{4}$ ，y軸方向に $-\frac{25}{8}$ だけ平行移動したものになる→ニヌ，ネ，ノハヒ，フ

♪～勝手に批評～♪，♣～筆者の感想～♥
　尋ね方が良く出会う問題の形をしていないが，2点を通るように2次関数の係数を定める問題だと分かれば，後は計算するだけ．展開形で求めてもよいし，頂点に対応した標準形で求めてもよい．

→解答を隠す←

【2014年度センター試験.数学Ⅰ･数学A】第2問

　aを定数とし，xの2次関数

y=x2+2ax+3a2−6a−36･･･①

のグラフをGとする。Gの頂点の座標は

(アa, イa2−ウa−エオ)

である。Gとy軸との交点の座標をpとする。

(1)　p=−27のとき，aの値はa=カ，キクである。a=カのときの①のグラフをx軸方向にケ，y軸方向にコだけ平行移動すると，a=キクのときの①のグラフに一致する。

［解答を見る］

∀～勝手に批評～∃，∅～筆者の感想～♪♪
　教科書レベルの基本問題です．ほとんどの受験生が正解になるので，この問題で差は出ない．確実に得点しておきたい．

y=x2+2ax+3a2−6a−36
=(x+a)2−a2+3a2−6a−36
=(x+a)2+2a2−6a−36
頂点の座標は(−a, 2a2−6a−36)→ア，イ，ウ，エオ
(1)　Gとy軸との交点の座標がpだから，①にx=0を代入すると
3a2−6a−36=−27
3a2−6a−9=0
a2−2a−3=0
(a+1)(a−3)=0
a=3, −1→カ，キク

a=3のときの①のグラフの頂点の座標は
(−3, −36)
a=−1のときの①のグラフの頂点の座標は
(1, −28)
したがって，x軸方向に4，y軸方向に8だけ平行移動→ケ，コ →解答を隠す←

(2)　下のス，セ，ノ，ハには，次の⓪～③のうちから当てはまるものを一つずつ選べ。ただし，同じものを繰り返し選んでもよい。

⓪ >　　① <　　② ≧　　③ ≦

　Gがx軸と共有点を持つようなaの値の範囲を表す不等式は

サシスaセソ･･･②

である。aが②の範囲にあるとき，pは，a=タで最小値チツテをとり，a=トで最大値ナニをとる。
　Gがx軸と共有点を持ち，さらにそのすべての共有点のx座標が−1より大きくなるようなaの値の範囲を表す不等式は

ヌネノaハ

ヒフ

ヘ

である。

［解答を見る］

(2)
頂点のy座標は，イウエオの結果から
2a2−6a−36
下に凸の放物線がx軸と共有点を持つには，頂点のy座標が0以下になればよいから

　大学入試の受験生は，数学Ⅱも習っているのが普通で，その場合は，①式=0とした2次方程式の判別式を用いて考えることが多い
　D'=a2−(3a2−6a−36)≧0

2a2−6a−36≦0
a2−3a−18≦0
(a+3)(a−6)≦0
−3≦a≦6
→サシ，ス，セ，ソ

p=3a2−6a−36
=3(a2−2a)−36
=3(a−1)2−39（−3≦a≦6）
a=1のとき最小値−39をとる→タ，チツテ
a=6のとき最大値36をとる→ト，ナニ

f(x)=x2+2ax+3a2−6a−36
のグラフが
「x軸と共有点を持ち」(#1)
「そのすべての共有点のx座標が−1より大きくなる」(#2)には
(#1)より，サシスセソの結果を用いる（③の形はだめ）と
−3≦a≦6･･･(#3)
(#2)より，f(−1)>0（②の形はだめ）
f(−1)=1−2a+3a2−6a−36>0
3a2−8a−35>0
(3a+7)(a−5)>0
$a\lt -\frac{7}{3},\hspace{5}5\lt a$ ･･･(#4)
かつ軸のx座標＞−1（④の形はだめ）
−1<−a
a<1･･･(#5)
(#3)(#4)(#5)より
$-3\underset{=}{\lt}a\lt -\frac{7}{3}$ →ヌネ，ノ，ハ，ヒフ，ヘ

∀～勝手に批評～∃，∅～筆者の感想～♪♪
　解の配置問題（定数と解の大小比較問題）は，教科書傍用問題集などで一度は練習しておくべきものです．

→解答を隠す←

【2015年度センター試験.数学Ⅰ･数学A】第1問

　2次関数

y=−x2+2x+2･･･①

のグラフの頂点の座標は(ア，イ)である。また

y=f(x)

はxの2次関数で，そのグラフは，①のグラフをx軸方向にp，y軸方向にqだけ平行移動したものであるとする。

(1)　下のウ，オには，次の⓪～④のうちから当てはまるものを一つずつ選べ。ただし，同じものを繰り返し選んでもよい。

⓪ >　　① <　　② ≧　　③ ≦　　④ ≠

　2≦x≦4におけるf(x)の最大値がf(2)になるようなpの値の範囲は

pウエ

であり，最小値がf(2)になるようなpの値の範囲は

pオカ

である。

［解答を見る］

y=−(x2−2x)+2=−{(x−1)2−1}+2
=−(x−1)2+3
頂点の座標は(1, 3)→ア，イ
(1)
y=−{x−(p+1)}2+(q+3) (2≦x≦4)

の最大値がf(2)となるのは，右図のように，放物線の軸x=p+1が，x=2よりも左にあるとき（等しくてもよい）
p+1≦2
p≦1→ウ，エ

最小値がf(2)となるのは，右図のように，放物線の軸x=p+1が，区間2≦x≦4の中央x=3よりも右にあるとき（等しくてもよい）
p+1≧3
p≧2→オ，カ
→解答を隠す←

(2)　2次不等式f(x)>0の解が−2<x<3になるのは

キク

ケ

，q=

コサ

シ

のときである。

［解答を見る］

(2)

【2次不等式の解から2次不等式を作るには】
a<x<b ⇔ x2−(a+b)x+ab<0

2次不等式の解が−2<x<3になるのは
x2−x−6<0･･･(#1)
次の2次不等式が(#1)に一致するには
−{x−(p+1)}2+(q+3)
=−x2+2(p+1)x−(p2+2p+1−q−3)
=−{x2−2(p+1)x+(p2+2p+1−q−3)}>0
x2−2(p+1)x+(p2+2p+1−q−3)<0

2(p+1)=1
p2+2p+1−q−3=−6
これを解くと
$p=-\frac{1}{2},\hspace{5}q=\frac{13}{4}$ →キク，ケ，コサ，シ
→解答を隠す←

【2016年度センター試験.数学Ⅰ･数学A】第1問(必答問題)

〔1〕 aを実数とする。xの関数

f(x)=(1+2a)(1−x)+(2−a)x

を考える。

f(x)=(−アa+イ)x+2a+1

である。
(1)　0≦x≦1におけるf(x)の最小値は，

a≦

イ

ア

のとき，ウa+エであり

イ

ア

のとき，オa+カである。

［解答を見る］

f(x)=(1+2a)(1−x)+(2−a)x
=(1+2a)−(1+2a)x+(2−a)x
=(−3a+1)x+(2a+1)→ア，イ
(1)
xの係数−3a+1の正負に応じて増加関数，減少関数に分かれる
ア） −3a+1≧0のとき，増加（非減少）関数になるから，x=0のとき最小値をとる

$a\underset{=}{\lt}\frac{1}{3}$ のとき，最小値2a+1→ウエ
イ） −3a+1<0のとき，減少関数になるから，x=1のとき最小値をとる

$a\gt\frac{1}{3}$ のとき，最小値−a+2→オカ
→解答を隠す←

(2)　0≦x≦1において，常に $f(x)\underset{=}{\gt}\frac{2(a+ 2)}{3}$ となるaの値の範囲は，

キ

ク

≦a≦

ケ

コ

である。

［解答を見る］

(2)
　(1)の結果に沿って，最小値と比較すればよい

ア） $a\underset{=}{\lt}\frac{1}{3}$ のとき
$2a+ 1\underset{=}{\gt}\frac{2(a+ 2)}{3}$
$6a+ 3\underset{=}{\gt}2a+ 4$
$4a\underset{=}{\gt}1$
$a\underset{=}{\gt}\frac{1}{4}$
以上から $\frac{1}{4}\underset{=}{\lt}a\underset{=}{\lt}\frac{1}{3}$

イ） $a\gt\frac{1}{3}$ のとき
$-a+ 2\underset{=}{\gt}\frac{2(a+ 2)}{3}$
$-3a+ 6\underset{=}{\gt}2a+ 4$
$5a\underset{=}{\lt}2$
$a\underset{=}{\lt}\frac{2}{5}$
以上から $\frac{1}{3}\lt a\underset{=}{\lt}\frac{2}{5}$
ア）イ）をまとめると $\frac{1}{4}\underset{=}{\lt} a\underset{=}{\lt}\frac{2}{5}$ →キクケコ
→解答を隠す←

【2017年度センター試験.数学Ⅰ･数学A】第1問(必答問題)

〔3〕 aを定数とし，g(x)=x2−2(3a2+5a)x+18a4
+30a3+49a2+16とおく。2次関数y=g(x)のグラフの頂点は

(セa2+ソa, タa4+チツa2+テト)

である。
　aが実数全体を動くとき，頂点のx座標の最小値は

−

ナニ

ヌネ

である。

　次に，t=a2とおくと，頂点のy座標は

タt2+チツt+テト

と表せる。したがって，aが実数全体を動くとき，頂点のy座標の最小値はノハである。

［解答を見る］

g(x)=x2−2(3a2+5a)x+18a4+30a3+49a2+16
={x−(3a2+5a)}2−(3a2+5a)2+18a4+30a3+49a2+16
={x−(3a2+5a)}2−9a4−30a3−25a2
+18a4+30a3+49a2+16
={x−(3a2+5a)}2+9a4+24a2+16
頂点の座標は(3a2+5a, 9a4+24a2+16)→セ,ソ,タ,チツ,テト

頂点のx座標は
$3a^2+ 5a=3(a^2+\frac{5}{3}a)=3\{(a+\frac{5}{6})^2-\frac{25}{36}\}$
$=3(a+\frac{5}{6})^2-\frac{25}{12}$
頂点のx座標の最小値は， $-\frac{25}{12}$ →ナニ,ヌネ

t=a2 (≧0)とおくと，頂点のx座標は
$9t^2+ 24t+ 16=9(t^2+\frac{8}{3}t)+16$
$=9\{(t+\frac{4}{3})^2-\frac{16}{9}\}+16=9(t+\frac{4}{3})^2$
t≧0のとき，単調増加関数になり，t=0のとき最小値16をとる→ノハ →解答を隠す←

【2018年度センター試験.数学Ⅰ･数学A】第1問(必答問題)

〔1〕 xを実数とし

A=x(x+1)(x+2)(5−x)(6−x)(7−x)

とおく。整数nに対して

(x+n)(n+5−x)=x(5−x)+n2+アn

であり，したがって，X=x(5−x)とおくと

A=X(X+イ)(X+ウエ)

と表せる。

$x=\frac{5+\sqrt{17}}{2}$ のとき，X=オであり，A=2カである。

［解答を見る］

(x+n)(n+5−x)=nx+x(5−x)+n2+(5−x)n
=x(5−x)+n2+5n→ア

X=x(5−x)とおくと
(x+1)(6−x)=x(5−x)+6
(x+2)(7−x)=x(5−x)+14
A=X(X+6)(X+14)→イ，ウエ

$x=\frac{5+\sqrt{17}}{2}$ のとき
$X=x(5-x)=\frac{5+\sqrt{17}}{2}\times\frac{5-\sqrt{17}}{2}=\frac{25-17}{4}=2$ →オ

A=2(2+6)(2+14)=21×23×24=28→カ
→解答を隠す←

【2019年度センター試験.数学Ⅰ･数学A】第1問(必答問題)

〔3〕 aとbはともに正にの実数とする。xの2次関数

y=x2+(2a−b)x+a2+1

のグラフをGとする。

(1)　グラフGの頂点の座標は

$\Big($

チ

−a，−

ツ

+ab+テ $\Big)$

である。

［解答を見る］

(1)
$y=x^2+(2a-b)x+ a^2+ 1$
$=(x+\frac{2a-b}{2})^2-\frac{(2a-b)^2}{4}+ a^2+ 1$
$=(x+ a-\frac{b}{2})^2-\frac{b^2}{4}+ ab+ 1$
頂点の座標は

$\Big(\frac{b}{2}-a,\hspace{5}-\frac{b^2}{4}+ ab+ 1\Big)$ →チ，ツ，テ
→解答を隠す←

(2)　グラフGが点(−1, 6)を通るとき，bのとり得る値の最大値はトであり，そのときのaの値はナである。
　b=ト，a=ナのとき，グラフGは2次関数

y=x2のグラフをx軸方向に

ニ

ヌ

，y軸方向に

ネノ

ハ

だけ平行移動したものである。

［解答を見る］

(2)
y=x2+(2a−b)x+a2+1にx=−1, y=6を代入する
6=1−(2a−b)+a2+1
b=−a2+2a+4=−(a−1)2+5
bのとり得る値の最大値は5であり，そのときのaの値は1
→ト，ナ

このとき，頂点の座標は
$\Big(\frac{b}{2}-a,\hspace{5}-\frac{b^2}{4}+ ab+ 1\Big)$
$=\Big(\frac{5}{2}-1,\hspace{5}-\frac{25}{4}+ 5+ 1\Big)$
$=\Big(\frac{3}{2},\hspace{5}-\frac{1}{4}\Big)$
y=x2のグラフをx軸方向に $\frac{3}{2}$ ，y軸方向に $-\frac{1}{4}$ だけ平行移動したものである→ニ,ヌ,ネノ,ハ →解答を隠す←

【2020年度センター試験.数学Ⅰ･数学A】第1問(必答問題)

〔3〕 cを定数とする。2次関数y=x2のグラフを，2点(c, 0), (c+4, 0)を通るように平行移動して得られるグラフをGとする。

(1)　Gをグラフにもつ2次関数は，cを用いて

y=x2−2(c+ツ)x+c(c+テ)

と表せる。
　2点(3, 0), (3, −3)を両端とする線分とGが共有点をもつようなcの値の範囲は

−ト≦c≦ナ，ニ≦c≦ヌ

である。

［解答を見る］

(1)
　2次関数Gの方程式をy=x2+Ax+Bとおく（A, Bは定数）
(c, 0)を通るから
0=c2+Ac+B･･･(#1)
(c+4, 0)を通るから
0=(c+4)2+A(c+4)+B･･･(#2)
　cを与えられた定数とし，A, Bを未知数として，連立方程式(#1)(#2)を解く
　(#2)−(#1)
0=8c+16+4A
A=−2c−4･･･(#3)
　(#3)を(#1)に代入
B=−c2+(2c+4)c=c2+4c･･･(#4)
　(#3)(#4)により，2次関数Gの方程式は
y=x2−(2c+4)x+c2+4c
=x2−2(c+2)x+c(c+4)→ツ，テ (#5)

(#5)が2点(3, 0), (3, −3)を両端とする線分と共有点をもつから
−3≦9−6(c+2)+c(c+4)≦0
−3≦c2−2c−3≦0
c2−2c≧0かつc2−2c−3≦0
c(c−2)≧0かつ(c−3)(c+1)≦0
(c≦0または2≦c)かつ(−1≦c≦3)
−1≦c≦0または2≦c≦3→ト,ナ,ニ,ヌ
→解答を隠す←

(2)　ニ≦c≦ヌの場合を考える。Gが点(3, −1)を通るとき，Gは2次関数y=x2のグラフをx軸方向にネ+ $\sqrt{\hspace{30px;}}$ ノ　，y軸方向にハヒだけ平行移動したものである。また，このときGとy軸との交点のy座標はフ+ヘ $\sqrt{\hspace{30px;}}$ ホ　である。

［解答を見る］

(2)
2≦c≦3の場合，Gが点(3, −1)を通るとき
−1=c2−2c−3
c2−2c−2=0
$c=1\pm\sqrt{3}$
2≦c≦3だから， $c=1+\sqrt{3}$
このとき，2次関数の方程式Gは，(#5)より
y={x−(c+2)}2−4
$=\{x-(3+\sqrt{3})\}^2-4$
は，y=x2のグラフをx軸方向に $3+\sqrt{3}$ ，y軸方向に−4だけ平行移動したものである→ネ,ノ,ハヒ
　また，このとき，x=0ならば
$y=(3+\sqrt{3})^2-4=8+ 6\sqrt{3}$ →フ,ヘ,ホ
→解答を隠す←

【2021年度共通テスト.数学Ⅰ･数学A】第1問(必答問題)

〔1〕 cを正の定数とする。xの2次方程式

2x2+(4c−3)x+2c2−c−11=0･･･①

について考える。
(1)　c=1のとき，①の左辺を因数分解すると

(アx+イ)(x−ウ)

であるから，①の解は

x=−

イ

ア

，ウ

である。
(2)　c=2のとき，①の解は

−エ± $\sqrt{\hspace{30px;}}$ オカ　

キ

であり，大きいほうの解をαとすると

$\frac{5}{\alpha}=$

ク± $\sqrt{\hspace{30px;}}$ ケコ　

サ

である。また， $m<\frac{5}{\alpha}\lt m+ 1$ を満たす整数mはシである。

［解答を見る］

(1)
c=1を代入する
2x2+x−10
=(2x+5)(x−2)→ア,イ,ウ
(2)
c=2を代入する
2x2+5x−5=0
解の公式により

$x=\frac{-5\pm\sqrt{65}}{4}$ →エ,オカ,キ
　大きいほうの解をαとおくと
$\alpha=\frac{-5+\sqrt{65}}{4}$
$\frac{5}{\alpha}=\frac{20}{-5+\sqrt{65}}=\frac{20(\sqrt{65}+ 5)}{65-25}=\frac{20(\sqrt{65}+ 5)}{40}$
$=\frac{\sqrt{65}+ 5}{2}$ →ク,ケコ,サ

$m<\frac{5}{\alpha}\lt m+ 1$ を満たす整数mは
$=\frac{\sqrt{65}+ 5}{2}$ ≒6.53..だからm=6→シ →解答を隠す←

(3)　太郎さんと花子さんは，①の解について考察している。

太郎：①の解はcの値によって，ともに有理数である場合もあれば，ともに無理数である場合もあるね。cがどのような値のときに，解は有理数になるのかな。
花子：①の解は2次方程式の根号の中に着目すればいいんじゃないかな。

　①の解が異なる二つの有理数であるような正の整数cの個数はス個である。

［解答を見る］

(3)
①の解は
$x=\frac{-(4c-3)\pm\sqrt{(4c-3)^2-8(2c^2-c-4)}}{4}$
根号内は
$D=16c^2-24c+ 9-16c^2+ 8c+ 88=-16c+ 97$
D≧0であって，かつ，Dが平方数となる正の整数cを求める
−16c+97≧0
$c\underset{=}{\lt}\frac{97}{16}=6.06..$

c=1→D=81（適する）
c=2→D=65（不適）
c=3→D=49（適する）
c=4→D=34（不適）
c=5→D=17（不適）
c=6→D=1（適する）

以上から，3個→ス →解答を隠す←

【2022年度共通テスト.数学Ⅰ･数学A】第2問(必答問題)

〔1〕 p, qを実数とする。
花子さんと太郎さんは，次の二つの2次方程式について考えている。

x2+px+q=0　･･･①
x2+qx+p=0　･･･②

　①または②を満たす実数xの個数をnとおく。

(1)　p=4, q=−4のとき，n=アである。
　また，p=1, q=−2のとき，n=イである。
(2)　p=−6のとき，n=3になる場合を考える。

花子：例えば，①と②をともに満たす実数xがあるときはn=3になりそうだね。
太郎：それをαとしたら，α2+qα−6=0とα2−6α+q=0が成り立つよ。
花子：なるほどね。それならば，α2を消去すれば，αの値が求められそうだね。
太郎：確かにαの値が求まるけど，実際にn=3となっているかどうかの確認が必要だね。
花子：これ以外にもn=3となる場合がありそうだね。

　n=3となるqの値は

q=ウ，エ

である。ただし，ウ<エとする。

［解答を見る］

(1)
p=4, q=−4のとき

x2+4x−4=0　･･･①
x2−4x+4=0　･･･②

①の実数解は $x=-2\pm 2\sqrt{2}$
②の実数解はx=2
だから，n=3→ア

p=1, q=−2のとき

x2+x−2=0　･･･①
x2−2x+1=0　･･･②

①の実数解はx=−2, 1
②の実数解はx=1
だから，n=2→イ

p=−6のとき
花子と太郎の会話をヒントに，①②の共通解αがあるときを考えると

α2−6α+q=0　･･･①'
α2+qα−6=0　･･･②'

②'−①'
(q+6)(α−1)=0
q=−6のとき，①'②'は同じ方程式になって，実数解2個となるから，題意に適さない．
α=1のとき，q=5となって，
①'の解はα=1, 5
②'の解はα=1, −6
実数解3個となって題意に適する．
　共通解がなくて，解が3個となるのは，一方が実の重解をもち，他方が異なる実数解をもつ場合
②'は異なる実数解をもつから，①'について判別式D=0とすると
q=9
以上から，q=5, 9→ウ,エ
→解答を隠す←

(3)　花子さんと太郎さんは，グラフ表示ソフトを用いて，①②の左辺をyとおいた2次関数y=x2+px+qとy=x2+qx+pのグラフの動きを考えている。
（挿し絵省略）　p=−6に固定したまま，qの値だけを変化させる。

y=x2−6x+q　･･･③
y=x2+qx−6　･･･④

の二つのグラフについて，q=1のときのグラフを点線で，qの値を1から増加させたときのグラフを実線でそれぞれ表す。このとき，③のグラフの移動の様子を示すとオとなり，④のグラフの移動の様子を示すとカとなる。

オ，カについては，最も適当なものを，次の⓪～⑦のうちから一つずつ選べ。ただし，同じものを繰り返し選んでもよい。なお，x軸とy軸は省略しているが，x軸は右方向，y軸は上方向がそれぞれ正の方向である。

［解答を見る］

qの値を1から増加させたとき，③の頂点は，x座標は変わらず，y座標は増加するから
⑥→オ

④の方程式は
$y=(x+\frac{q}{2})^2-\big(\frac{q}{2}\big)^2-6$
その頂点は
$(-\frac{q}{2},\hspace{5}-\big(\frac{q}{2}\big)^2-6)$
qの値を1から増加させたとき，x座標は減少，y座標も減少するから，①→カ
→解答を隠す←

(4)　ウ<q<エとする。全体集合Uを実数全体の集合とし，Uの部分集合A, Bを

A={x|x2−6x+q<0}
B={x|x2+qx−6<0}

とする。Uの部分集合Xに対し，Xの補集合をXと表す。このとき，次のことが成り立つ。

x∈Aは，x∈Bであるためのキ。
x∈Bは，x∈Aであるためのク。

キ, クの解答群（同じものを繰り返し選んでもよい。）

⓪　必要条件であるが，十分条件ではない
①　十分条件であるが，必要条件ではない
②　必要十分条件である
③　必要条件でも十分条件でもない

［解答を見る］

5<q<9のとき
f(x)=x2−6x+q
g(x)=x2+qx−6
とおくと
f(1)=q−5>0
g(1)=q−5>0 $\underset{\swarrow}{\nwarrow}$ x軸の上にある
　また
g(x)−f(x)=(q+6)(x−1)
だからx>1のときg(x)>f(x)
f(x)の軸はx=3 (>1)
g(x)の軸は $x=-\frac{q}{2}\hspace{2}(\lt 0)$
　さらに，x軸との共有点の個数を判別式で調べると
Df=9−q>0
Dg=q2+9>0 $\underset{\swarrow}{\nwarrow}$ x軸と2点で交わる

以上から，右図のようなグラフになる．
$x\in A\overset{\times}{\Longrightarrow}x\in B$
$x\in B\overset{\times}{\Longrightarrow}x\in A$
だから
③必要条件でも十分条件でもない→キ

$x\in B\overset{\circ}{\Longrightarrow}x\in\bar{A}$
$x\in\bar{A}\overset{\times}{\Longrightarrow}x\in B$
だから
①十分条件であるが，必要条件ではない→ク

∀～勝手に批評～∃，∅～筆者の感想～♪♪
　前の問題とどのように関連しているのかなど，あれこれと考えていると，結構時間を取られてしまう．
　内容的に難解・高度な問題ということではないが，時間内に正答に達するのは厳しいかもしれない．

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