センター試験.数Ⅱ微積

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== センター試験.数Ⅱ微積(2013～) ==

【2013年度センター試験.数学Ⅱ･B】第2問（必答問題）

　aを正の実数として，xの関数f(x)を

f(x)=x3−3a2x+a3

とする。
　関数y=f(x)は，x=アイで極大値ウaエをとり，x=オで極小値カaキをとる。このとき，2点
$\Big($ アイ，ウaエ $\Big)$ ， $\Big($ オ，カaキ $\Big)$
と原点を通る放物線

y=クx2−ケaコx

をCとする。原点におけるCの接線ℓの方程式は

y=サシaスx

である。また，原点を通りℓに垂直な直線mの方程式は

セaソ

である。

解説を読む

f’(x)=3x2−3a2=3(x+a)(x−a)
a>0だから，増減表は次のようになる．

x	···	−a	···	a	···
f'(x)	+	0	−	0	+
f(x)	$\nearrow$	3a3	$\searrow$	−a3	$\nearrow$

x=−aのとき，極大値3a3をとる→アイ,ウ,エ
x=aのとき，極小値−a3をとる→オ,カ,キ

3点O(0, 0), P(−a, 3a3), Q(a, −a3)を通る放物線の方程式を
y=Ax2+Bx+C
とおく．
O(0, 0)を通るから
C=0･･･(#1)
P(−a, 3a3)を通るから
3a3=Aa2−Ba+C･･･(#2)
Q(a, −a3)を通るから
−a3=Aa2+Ba+C･･･(#3)
(#1)(#2)(#3)より
A=a, B=−2a2, C=0
y=ax2−2a2x→ク,ケ,コ ⇒(#4)放物線C

(#4)を微分すると
y'=2ax−2a2
x=0のとき，y'=−2a2だから，接線ℓの方程式は
y=−2a2x→サシ,ス
垂線mの方程式は
$y=\frac{1}{2a^2}x$ →セ,ソ

♪∀～勝手に批評～個人の感想～∅♥
　ここまでは，誰でもできる．受験生間の差は出ない．

→解説を隠す←

　x軸に関して放物線Cと対称な放物線

y=−クx2+ケaコx

をDとする。Dとℓで囲まれた図形の面積Sは

タチ

ツ

aテ

である。

放物線Cと直線mの交点のx座標は，0と

4aト+1

2aナ

である。Cとmで囲まれた図形の面積をTとする。

S=Tとなるのはaテ=

ニ

ヌ

のときであり，このと

き，S=

ネ

ノ

である。

解説を読む

放物線C(#4)をx軸に関して対称に移動すると
y=−ax2+2a2x⇒放物線D
放物線Dと接線ℓ
y=−2a2x
の交点は
−ax2+2a2x=−2a2x
ax2−4a2x=0
ax(x−4a)=0
x=0, 4a

この計算は，いわゆる「6分の1公式」を使って短縮的に書いてもよい
$\underset{\tiny{\alpha}}{\int^{\tiny{\beta}}}a(x-\alpha)(x-\beta)dx$
$=\frac{-a}{6}(\beta-\alpha)^3$

$S=\underset{\tiny{0}}{\int^{\tiny{4a}}}(-ax^2+ 4a^2x)dx$
$=\left[-\frac{ax^3}{3}+ 2a^2x^2\right]_0^{4a}$
$=\frac{32}{3}a^4$ →タチ,ツ,テ

放物線Cと直線mの交点は

y=ax2−2a2x･･･放物線C
$y=\frac{1}{2a^2}x$ ･･･直線m
代入してyを消去する
$ax^2-2a^2x=\frac{1}{2a^2}x$
$2a^3x^2-4a^4x=x$
$2a^3x^2-(4a^4+ 1)x=0$
$x\{2a^3x-(4a^4+ 1)\}=0$
x=0または $x=\frac{4a^4+ 1}{2a^3}$ →ト,ナ

←いわゆる「6分の1公式」

$T=\frac{a}{6}\times\{\frac{4a^4+ 1}{2a^3}\}^3$
$=\frac{(4a^4+ 1)^3}{48a^8}$
S=Tとおくと
$\frac{(4a^4+ 1)^3}{48a^8}=\frac{32}{3}a^4$
$(4a^4+ 1)^3=2^9a^{12}\hspace{5}(\gt 0)$
$4a^4+ 1=8a^4$
$4a^4=1$
$a^4=\frac{1}{4}$ →ニ,ヌ
$S=\frac{32}{3}\times\frac{1}{4}=\frac{8}{3}$ →ネ,ノ

♪∀～勝手に批評～個人の感想～∅♥
　内容的に高度なものではないが,方程式C, D,直線ℓ，mなどが，ずいぶん離れた場所に書かれていて，元の場所を探すだけで時間が取られる．
　anの変形が満載されているが，これがセンター試験としての指数計算の出題の仕方だと思えばよい．（公式暗記程度の問題から垢抜けした良問）

→解説を隠す←

【2014年度センター試験.数学Ⅱ･B】第2問（必答問題）

　pを実数とし，f(x)=x3−pxとする。

(1)　関数f(x)が極値をもつためのpの条件を求めよう。f(x)の導関数は，f'(x)=アxイ−pである。したがって，f(x)がx=aで極値をとるならば，
　アxイ−p=ウが成り立つ。さらに，x=aの前後でのf'(x)の符号の変化を考えることにより，pが条件エを満たす場合は，f(x)は必ず極値をもつことがわかる。エに当てはまるものを，次の⓪～④のうちから一つ選べ。
　⓪ p=0　① p>0　② p≧0　③ p<0　④ p≦0

解説を読む

(1)
f'(x)=3x2−p→ア,イ
x=aで極値をとるならば，3a2−p=0→ウ
pが条件p>0:①を満たす場合は，f(x)は極値をもつ→エ
→解説を隠す←

(2)　関数f(x)が $x=\frac{p}{3}$ で極値をとるとする。また，曲線y=f(x)をCとし，C上の点 $\big(\frac{p}{3},\hspace{2}f(\frac{p}{3})\big)$ をAとする。
　f(x)が $x=\frac{p}{3}$ で極値をとることから，p=オであり，f(x)はx=カキで極大値をとり，x=クで極小値をとる。

解説を読む

(2)
3a2−p=0 (p>0)

$a=\frac{p}{3}$ のとき極値をとるから
$3(\frac{p}{3})^2-p=0$
$p^2-3p=0$
$p(p-3)=0$
p>0により
p=3→オ
p=3のとき $a=\frac{p}{3}=1$ だから
増減表は次のようになる．

x	···	−1	···	1	···
f'(x)	+	0	−	0	+
f(x)	$\nearrow$	2	$\searrow$	−2	$\nearrow$

x=−1で極大値をとり，x=1で極小値をとる→カキ,ク
→解説を隠す←

　曲線Cの接線で，点Aを通り傾きが0でないものをℓとする。ℓの方程式を求めよう。ℓとCの接点のx座標をbとすると，ℓは点(b, f(b))におけるCの接線であるから，ℓの方程式はbを用いて
y= $\Big($ ケb2−コ $\Big)$ (x−b)+f(b)
と表すことができる。また，ℓは点Aを通るから，方程式
サb3−シb2+1=0

を得る。この方程式を解くと，b=ス，

セソ

タ

であ

るが，ℓの傾きが0でないことから，ℓの方程式は

チツ

テ

ト

ナ

である。

解説を読む

y=(3b2−3)(x−b)+f(b)→ケ,コが点A(1, −2)を通るから
−2=(3b2−3)(1−b)+(b3−3b)
2b3−3b2+1=0→サ,シ
(b−1)(2b2−b−1)=0
(b−1)2(2b+1)=0
$b=0,\hspace{2}-\frac{1}{2}$ →ス,セソ
b≠0だから
$b=-\frac{1}{2}$
このとき，直線ℓの方程式は
$y=(\frac{3}{4}-3)(x+\frac{1}{2})+\frac{11}{8}$
$y=-\frac{9}{4}x+\frac{1}{4}$ →チツ,テ,ト,ナ
→解説を隠す←

　点Aを頂点とし，原点を通る放物線をDとする。ℓとDで囲まれた図形のうち，不等式x≧0の表す領域に含まれる部分の面積Sを求めよう。Dの方程式は
y=ニx2−ヌx

であるから，定積分を計算することにより，S=

ネノ

となる。

解説を読む

Dの方程式は
y=2(x−1)2−2=2x2−4x→ニ,ヌ
$S=\underset{0}{\int^{1}}\{-\frac{1}{4}x+\frac{1}{4}-(2x^2-4x)\}dx$
$=\underset{0}{\int^{1}}(-2x^2+\frac{7}{4}x+\frac{1}{4})dx$
$=\big[-\frac{2}{3}x^3+\frac{7}{8}x^2+\frac{1}{4}x\big]_0^1$
$=\frac{11}{24}$ →ネノ
→解説を隠す←

【2015年度センター試験.数学Ⅱ･B】第2問（必答問題）

(1)　関数 $f(x)=\frac{1}{2}x^2$ のx=aにおける微分係数f'(a)を求めよう。hが0でないとき，xがaからa+hまで変化す

るときのf(x)の平均変化率はア+

イ

である。

したがって，求める微分係数は

f'(a)=

lim

h→ウ

$\Big($ ア+

イ

$\Big)$ =エ

である。

解説を読む

(1)
xがaからa+hまで変化するときのf(x)の平均変化率は
$\frac{f(a+ h)-f(a)}{(a+ h)-a}=\frac{\frac{1}{2}(a+ h)^2-\frac{1}{2}a^2}{h}$
$=\frac{2ah+ h^2}{2h}=a+\frac{h}{2}$ →ア,イ
微分係数は
$f^{\small{\prime}}(a)=\lim_{h\rightarrow 0}(a+\frac{h}{2})=a$ →ウ,エ
→解説を隠す←

(2)　放物線 $y=\frac{1}{2}x^2$ をCとし，C上に点 $P(a,\hspace{4}\frac{1}{2}a^2)$ をとる。ただし，a>0とする。点PにおけるCの接線ℓの方程式は

y=オx−

カ

である。直線ℓとx軸との交点Qの座標は $\Big($

キ

ク

，0 $\Big)$

である。点Qを通りℓに垂直な直線をmとすると,mの方程式は

ケコ

サ

シ

ス

である。

解説を読む

(2)
f'(a)=aだから，接線ℓの方程式は
$y-\frac{1}{2}a^2=a(x-a)$
$y=ax-\frac{1}{2}a^2$ →オ,カ
y=0とおくと
$ax-\frac{1}{2}a^2=0$
$x=\frac{1}{2}a$
$Q(\frac{1}{2}a,\hspace{3}0)$ →キ,ク

ℓに垂直な直線mの傾きは
$-\frac{1}{a}$
$Q(\frac{1}{2}a,\hspace{3}0)$ を通り，傾き $-\frac{1}{a}$ の直線の方程式は
$y=-\frac{1}{a}(x-\frac{1}{2}a)$
$y=-\frac{1}{a}x+\frac{1}{2}$ →ケコ,サ,シ,ス
→解説を隠す←

　直線mとy軸との交点をAとする。三角形APQの面積をSとおくと

a(a2+セ)

ソ

となる。また，y軸と線分APおよび曲線Cによって囲まれた図形の面積をTとおくと

a(a2+タ)

チツ

となる。

解説を読む

$A(0,\hspace{2}\frac{1}{2}),\hspace{2}P(a,\hspace{2}\frac{1}{2}a^2),\hspace{2}Q(\frac{1}{2}a,\hspace{2}0)$ において，AQとQPは垂直だから $S=\frac{1}{2}AQ\times QP$
$AQ=\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{a^2+ 1}}{2}$
$QP=\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{a^4}{4}}=\frac{a\sqrt{a^2+ 1}}{2}$
$S=\frac{1}{2}\times\frac{\sqrt{a^2+ 1}}{2}\times\frac{a\sqrt{a^2+ 1}}{2}=\frac{a(a^2+ 1)}{8}$ →セ,ソ

直線APの方程式は
$y-\frac{1}{2}=\frac{\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{2}}{a}x$
$y=\frac{a^2-1}{2a}x+\frac{1}{2}$
曲線Cの方程式は
$y=\frac{1}{2}x^2$
積分区間は0≦x≦aだから，求める面積は
$T=\underset{\small{0}}{\int^{\small{a}}}\big(\frac{a^2-1}{2a}x+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}x^2\big)dx$
$=\big[\frac{a^2-1}{4a}x^2+\frac{1}{2}x-\frac{1}{6}x^3\big]_0^a$
$=\frac{a^2-1}{4a}a^3+\frac{1}{2}a-\frac{1}{6}a^3$
$=\frac{a(a^2+ 3)}{12}$ →タ,チツ

♪∀～勝手に批評～個人の感想～∅♥
　6分の1公式ではできない，基本に忠実な良問だと思う

→解説を隠す←

　a>0の範囲におけるS−Tの値について調べよう。

S−T=

a(a2−テ)

トナ

である。a>0であるから，S−T>0となるようなaのとり得る値の範囲はa> $\sqrt{\hspace{30px;}}$ ニ　である。また，a>0のときのS−Tの増減を調べると，S−Tはa=ヌで最小値

ネノ

ハヒ

をとることがわかる。

解説を読む

$S-T=\frac{a(a^2+ 1)}{8}-\frac{a(a^2+ 3)}{12}$
$=\frac{a^3-3a}{24}=\frac{a(a^2-3)}{24}$ →テ,トナ

a>0のときS−T>0となるaの範囲を求めると
$\frac{a(a^2-3)}{24}\gt 0$
$a^2-3\gt 0$
$a\gt\sqrt{3}$ →ニ

a>0のときのS−Tの増減は次の表のようになる

a	0	···	1	···
(S−T)'	×	−	0	+
S−T	×	$\searrow$	$-\frac{1}{12}$	$\nearrow$

a=1のとき，最小値 $-\frac{1}{12}$ をとる→ヌ,ネノ,ハヒ
→解説を隠す←

【2016年度センター試験.数学Ⅱ･B】第2問（必答問題）

　座標平面上で，放物線 $y=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}$ をC1とし，放物線
$y=\frac{1}{4}x^2$ をC2とする。

(1)　実数aに対して，2直線x=a, x=a+1とC1，C2で囲まれた図形Dの面積Sは

$S=\underset{\small{a}\hspace{20}}{\int^{\small{a+ 1}}}\Big($

ア

x2+

イ

$\Big)dx$

ウ

エ

オ

カキ

である。Sはa=

クケ

コ

で最小値

サシ

スセ

をとる。

解説を読む

(1)
x≧0のとき， $\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}x^2=\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{2}\hspace{5}(\gt 0)$ だから
$S=\underset{\small{a}\hspace{20}}{\int^{\small{a+ 1}}}\Big(\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{2}\Big)dx$ →ア,イ
$=\Big[\frac{1}{12}x^3+\frac{1}{2}x\Big]_a^{a+ 1}$
$=\frac{1}{12}\{(a+ 1)^3-a^3\}+\frac{1}{2}\{(a+ 1)-a\}$
$=\frac{3a^2+ 3a+ 1}{12}+\frac{1}{2}=\frac{3a^2+ 3a+ 7}{12}$
$=\frac{a^2}{4}+\frac{a}{4}+\frac{7}{12}$ →ウ,エ,オ,カキ

$S^{\tiny{\prime}}(a)=\frac{a}{2}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}(a+\frac{1}{2})$

a		$-\frac{1}{2}$
$S^{\tiny{\prime}}$	−	0	+
S	$\searrow$	$\frac{25}{48}$	$\nearrow$

$a=-\frac{1}{2}$ のとき，最小値 $\frac{25}{48}$ をとる→クケ,コ,サシ,スセ
→解説を隠す←

(2)　4点(a, 0), (a+1, 0), (a+1, 1), (a, 1)を頂点とする正方形をRで表す。aがa≧0の範囲を動くとき，正方形Rと(1)の図形Dの共通部分の面積をTとおく。Tが最大となるaの値を求めよう。
　直線y=1は，C1と(±ソ, 1)で,C2と(±タ, 1)で交わる。したがって，正方形Rと図形Dの共通部分が空集合にならないのは，0≦a≦チのときである。

解説を読む

--図1--

　 $\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}=1$ を解くと，x=±1
C1との交点は(±1, 1)→ソ

　 $\frac{1}{4}x^2=1$ を解くと，x=±2
C2との交点は(±2, 1)→タ
　右図の赤枠で示した正方形Rが図形Dとの共通部分がある限界だから，0≦a≦2→チ
→解説を隠す←

　ソ≦a≦チのとき，正方形Rは放物線C1とx軸の間にあり，この範囲でaが増加するとき,Tはツ。ツに当てはまるものを，次の⓪～②のうちから一つ選べ。

⓪　増加する　　①　減少する　　②　変化しない

　したがって，Tが最大になるaの値は，0≦a≦ソの範囲にある。
　0≦a≦ソのとき，(1)の図形Dのうち，正方形Rの外側にある部分の面積Uは

テ

ト

である。よって，0≦a≦ソにおいて

T=−

ナ

−

ニ

ヌ

オ

カキ

･･･①

である。①の右辺の増減を調べることにより，Tは

ネノ+ $\sqrt{\hspace{30px;}}$ ハ　

ヒ

で最大値をとることがわかる。

解説を読む

　図1から分かるように，1≦a≦2のとき，aが増加すれば，R, Dの共通部分Tの面積は減少する①→ツ
　図1において，DのうちでRの外側にある部分Uの面積は
$U=\underset{\small{1}\hspace{20}}{\int^{a+ 1}}(\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}-1)dx$
$=\underset{\small{1}\hspace{20}}{\int^{a+ 1}}(\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2})dx$
$=\Big[\frac{1}{6}x^3-\frac{1}{2}x\Big]_1^{a+ 1}$
$=\frac{1}{6}(a+ 1)^3-\frac{1}{2}(a+ 1)-(\frac{1}{6}-\frac{1}{2})$
$=\frac{1}{6}a^3+\frac{1}{2}a^2$ →テ,ト

$T=S-U=\frac{a^2}{4}+\frac{a}{4}+\frac{7}{12}-(\frac{1}{6}a^3+\frac{1}{2}a^2)$ $=-\frac{a^3}{6}-\frac{a^2}{4}+\frac{a}{4}+\frac{7}{12}$ →ナ,ニ,ヌ

$T^{\tiny{\prime}}(a)=-\frac{a^2}{2}-\frac{a}{2}+\frac{1}{4}=-\frac{1}{4}(2a^2+ 2a-1)$
$T^{\tiny{\prime}}(a)=0\Rightarrow a=\frac{-1+\sqrt{3}}{2}\hspace{5}(\gt 0)$ →ネノ,ハ,ヒ

a	0		$\frac{-1+\sqrt{3}}{2}$		1
$T^{\tiny{\prime}}$	×	+	0	−	×
T	×	$\nearrow$	最小	$\searrow$	×

→解説を隠す←

【2017年度センター試験.数学Ⅱ･B】第2問（必答問題）

　Oを原点とする座標平面上の放物線y=x2+1をCとし，点(a, 2a)をPとする。
(1)　点Pを通り，放物線Cに接する直線の方程式を求めよう。
　C上の点(t, t2+1)における接線の方程式は
y=アtx−t2+イ
である。この直線がPを通るとすると，tは方程式
t2−ウat+エa−オ=0
を満たすから，t=カa−キ，クである。よって，a≠ケのとき，Pを通るCの接線は2本あり，それらの方程式は
y= $\big($ コa−サ $\big)$ x−シa2+スa･･･①
と
y=セx
である。

解説を読む

(1)
y'=2xだから，接線の方程式は
y−(t2+1)=2t(x−t)
y=2tx−t2+1→ア,イ

この直線がP(a, 2a)を通るとき
2a=2ta−t2+1
t2−2ta+(2a−1)=0
{t−(2a−1)}(t−1)=0
t=2a−1, 1→カ,キ,ク

2a−1≠1のとき，すなわちa≠1のとき，接線は2本になる
y=2(2a−1)x−(2a−1)2+1
=(4a−2)x−4a2+4a→コ,サ,シ,ス①
および
y=2x→セ
→解説を隠す←

(2)　(1)の方程式①で表される直線をℓとする。ℓとy軸との交点をR(0, r)とすると，r=−シa2+スaである。r>0となるのは，ソ<a<タのときであり，このとき，三角形OPRの面積Sは

S=チ $\big($ aツ−aテ $\big)$
となる。

解説を読む

(2)
方程式①:y=(4a−2)x−4a2+4aがR(0, r)を通るから
r=−4a2+4a
r>0となるのは
−4a2+4a>0
4a2−4a<0
4a(a−1)<0
0<a<1→ソ,タ

OR=r(>0)，Pのx座標は(0<)a(<1)だから，△OPRの面積は
$S=\frac{1}{2}\times ra=\frac{1}{2}\{(-4a^2+ 4a)a\}$
$=-2(a^3-a^2)$
$=2(a^2-a^3)$ →チ,ツ,テ ※注

♪∀～勝手に批評～個人の感想～∅♥
※注： $-2(a^3-a^2)$ とすると，チが2文字になるから， $2(a^2-a^3)$ を解答とするようであるが，トンチ遊びのようで，筆者には良い感じがしない

→解説を隠す←

　ソ<a<タのとき，Sの増減を調べると，Sは

ト

ナ

で最大値

ニ

ヌネ

をとることがわかる。

(3)　ソ<a<タのとき，放物線Cと(2)の直線ℓおよび2直線x=0, x=aで囲まれた図形の面積をTとすると

ノ

ハ

a3−ヒa2+フ

である。

ト

ナ

≦a<タの範囲において,Tはヘ。

　ヘに当てはまるものを，次の⓪～⑤のうちから一つ選べ。

⓪ 減少する　　① 極小値をとるが，極大値はとらない
② 増加する　　③ 極大値をとるが，極小値はとらない
④ 一定である　⑤ 極小値と極大値の両方をとる

解説を読む

$S(a)=-2(a^3-a^2)$
$S(a)=-2(3a^2-2a)=-2a(3a-2)$

a	0		$\frac{2}{3}$		1
S'	×	+	0	−	×
S	×	$\nearrow$	$\frac{8}{27}$	$\searrow$	×

$a=\frac{2}{3}$ で最大値 $\frac{8}{27}$ をとる→ト,ナ,ニ,ヌネ

放物線Cの方程式は
y=x2+1
(2)の直線ℓの方程式は
y=(4a−2)x−4a2+4a
これらの差を区間0≦x≦aで積分する
$T=\underset{\tiny{0}}{\int^{\small{a}}}\{x^2+ 1-(4a-2)x+ 4a^2-4a\}dx$
$=\big[\frac{x^3}{3}-(2a-1)x^2+(4a^2-4a+ 1)x\big]_0^a$
$=\frac{a^3}{3}-(2a-1)a^2+(4a^2-4a+ 1)a$
$=\frac{7}{3}a^3-3a^2+ a$ →ノ,ハ,ヒ,フ

$T^{\tiny{\prime}}(a)=7a^2-6a+ 1=7(a-\frac{3}{7})^2-\frac{2}{7}$

$\frac{3}{7}\lt a$ において増加， $\frac{3}{7}\lt\frac{2}{3}$ だから $\frac{2}{3}\underset{=}{\lt}a$ のとき

$T^{\tiny{\prime}}(a)=7a^2-6a+ 1\underset{=}{\gt}T^{\tiny{\prime}}(\frac{2}{3})=\frac{1}{9}\gt 0$

a	$\frac{2}{3}$		1
T'	0	+
T		$\nearrow$

したがって，②増加する→ヘ →解説を隠す←

【2018年度センター試験.数学Ⅱ･B】第2問（必答問題）

〔1〕　p>0とする。座標平面上の放物線y=px2+qx+rをCとし，直線y=2x−1をℓとする。Cは点A(1, 1)においてℓと接しているとする。

(1)　qとrを，pを用いて表そう。放物線C上の点Aにおける接線ℓの傾きはアであることから，
q=イウp+エがわかる。さらに，Cは点Aを通ることから，r=p−オとなる。

解説を読む

[1](1)
y=2x−1のとき，y'=2だから
　接線ℓの傾きは2→ア

y=px2+qx+rについて，y'=2px+q
　点A(1, 1)における接線の傾きは，2p+q=2
　したがって，q=−2p+2→イウ,エ (#1)

放物線y=px2+qx+rが点A(1, 1)を通るから
　1=p+q+r (#2)
(#2)に(#1)を代入
　1=p+(−2p+2)+r
　r=p−1→オ (#3)
→解説を隠す←

(2)　 $v$ >1とする。放物線Cと直線ℓおよび直線x= $v$ で囲まれた図形の面積Sは

カ

$\Big(v^3-$ キ $v^2+$ ク $v-$ ケ $\Big)$

である。また，x軸とℓおよび2直線x=1, x= $v$ で囲まれた図形の面積Tは，T= $v$ コ− $v$ である。
　U=S−Tは $v=2$ で極値をとるとする。このとき，p=サであり， $v\gt 1$ の範囲でU=0となる $v$ の値を $v_{\tiny{0}}$ と

すると， $v_{\tiny{0}}$ =

シ+ $\sqrt{\hspace{30px;}}$ ス　

セ

である。 $1\lt v\lt v_{\tiny{0}}$ の範囲

でUはソ。　ソに当てはまるものを，次の⓪～④のうちから一つ選べ。

⓪つねに増加する ①つねに減少する ②正の値のみをとる
③負の値のみをとる ④正と負のどちらの値もとる

　p=サのとき， $v\gt 1$ におけるUの最小値はタチである。

解説を読む

(2)
$S=\underset{\tiny{1}}{\int^v}\{px^2+ qx+ r-(2x-1)\}dx$
$=\underset{\tiny{1}}{\int^v}\{px^2+(-2p+ 2)x+(p-1)-(2x-1)\}dx$
$=\underset{\tiny{1}}{\int^v}(px^2-2px+ p)dx$
$=p\underset{\tiny{1}}{\int^v}(x-1)^2dx$
$=p\big[\frac{(x-1)^3}{3}\big]_1^v$
$=\frac{p(v-1)^3}{3}=\frac{p}{3}(v^3-3v^2+ 3v-1)$ →カ,キ,ク,ケ

$T=\underset{\tiny{1}}{\int^v}(2x-1)dx$ $=\big[x^2-x\big]_1^v$
$=v^2-v-(1-1)=v^2-v$ →コ

$U=S-T=\frac{p}{3}(v-1)^3-(v^2-v)$
$U^{\tiny{\prime}}=p(v-1)^2-2v+ 1$
$v=2$ のとき $U^{\tiny{\prime}}=0$ となる場合
p=3→サ
このとき
$U=(v-1)^3-(v^2-v)=(v-1)(v^2-3v+ 1)$
$U^{\tiny{\prime}}=3(v-1)^2-2v+ 1=3v^2-8v+ 4$
$=(v-2)(3v-2)$
$U=0\Rightarrow v=1,\hspace{3}\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}$

$v\gt 1$ だから $U=0\Rightarrow v=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$ ≒2.6→シ,ス,セ

$v$	1		2		$v_0$
U'	×	−	0	+	×
U	0	$\searrow$	−1	$\nearrow$	0

$1\lt v\lt v_{\tiny{0}}$ の範囲でUは負の値のみとる→③ソ
$v\gt 1$ におけるUの最小値は−1→タチ →解説を隠す←

〔2〕　関数f(x)はx≧1の範囲でつねにf(x)≦0を満たすとする。t>1のとき，曲線y=f(x)とx軸および2直線x=1, x=tで囲まれた図形の面積をWとする。tがt>1の範囲を動くとき，Wは，底辺の長さが2t2−2，他の2辺の長さがそれぞれt2+1の二等辺三角形の面積とつねに等しいとする。このとき，x>1におけるf(x)を求めよう。
　F(x)をf(x)の不定積分とする。一般に，F'(x)=ツ，W=テが成り立つ。ツ，テに当てはまるものを，次の⓪～⑧のうちから一つずつ選べ。ただし，同じものを選んでもよい。

⓪ −F(t)

① F(t)

② F(t)−F(1)

③ F(t)+F(1)

④ −F(t)+F(1)

⑤ −F(t)−F(1)

⑥ −f(x)

⑦ f(x)

⑧ f(x)−f(1)

　したがって，t>1において

f(t)=トナtニ+ヌ
である。よって，x>1におけるf(x)が分かる。

解説を読む

〔2〕
F'(x)=f(x)→⑦ ツ
$W=\underset{\tiny{1}}{\int^t}\{-f(x)\}dx$
$=\big[-F(x)\big]_1^t=-F(t)+ F(1)$ →④ テ

右図の直角三角形DEFにおいて，DF=t2+1，EF=t2−1だから，三平方の定理により
DE2+EF2=DF2
DE2+(t2−1)2=(t2+1)2
DE2=4t2
DE=2t (t>1)
W=2t(2t2−2)/2=2(t3−t)となるから
f(t)=−W'(t)=−2(3t2−1)=−6t2+2→トナ,ニ,ヌ

♪∀～勝手に批評～個人の感想～∅♥
　この問題の不定積分という用語と記号について，筆者の感想は別紙にあります

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【2019年度センター試験.数学Ⅱ･B】第2問（必答問題）

　p, qを実数とし，関数f(x)=x3+px2+qxはx=−1で極値2をとるとする。また，座標平面上の曲線y=f(x)をC，放物線y=−kx2をD，放物線D上の点(a, −ka2)をAとする。ただし，k>0, a>0である。

(1)　関数f(x)がx=−1で極値をとるので，f'(−1)=アである。これとf(−1)=2より，p=イ，q=ウエである。よって，f(x)はx=オで極小値カキをとる。

解説を読む

(1)
f(x)=x3+px2+qxを微分すると
f'(x)=3x2+2px+q
したがって
f'(−1)=3−2+q=0→ア　･･･(#1)
また，題意により
f(−1)=−1+p−q=2　･･･(#2)
(#1)(#2)をp, qの連立方程式として解くと
p=0, q=−3→イ,ウエ

f(x)=x3−3x
f'(x)=3x2−3=3(x+1)(x−1)
として増減表を作る

x	···	−1	···	1	···
f'(x)	+	0	−	0	+
f(x)	$\nearrow$	2	$\searrow$	−2	$\nearrow$

よって，f(x)はx=1で極小値−2をとる。
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(2)　点Aにおける放物線Dの接線をℓとする。Dとℓおよびx軸で囲まれた図形の面積Sをaとkを用いて表そう。
　ℓの方程式は
y=クケkax+kaコ　･･･①

と表せる。ℓとx軸の交点のx座標は

サ

シ

であり，D

とx軸および直線x=aで囲まれた図形の面積は

ス

aセ

である。よって，S=

ソタ

aセである。

解説を読む

D:y=−kx2について，y'=−2kx
x=aのとき，y=−ka2, y'=−2kaだから，接線ℓの方程式は
y+ka2=−2ka(x−a)
y=−2kax+ka2→クケ,コ　(#3)
(#3)においてy=0とおくと，ℓとx軸の交点の座標が求まる．
$-2kax+ ka^2=0$
$x=\frac{ka^2}{2ka}=\frac{a}{2}$ →サ,シ

Dとx軸および直線x=aで囲まれた図形の面積（右図の桃色で示した部分と水色で示した部分の和）は
$\underset{\tiny{0}}{\int^{\small{a}}}kx^2dx=\big[\frac{kx^3}{3}\big]_0^a=\frac{k}{3}a^3$ →ス,セ

右図の水色で示した部分の面積は
$\frac{a}{2}\times ka^2\div 2=\frac{k}{4}a^3$
だから
$S=\frac{k}{3}a^3-\frac{k}{4}a^3=\frac{k}{12}a^3$ →ソタ
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(3)　さらに，点Aが曲線C上にあり，かつ(2)の接線ℓがCにも接するとする。このときの(2)のSの値を求めよう。

AがC上にあるので，k=

チ

ツ

−テである。

　ℓとCの接点のx座標をbとすると，ℓの方程式はbを用いて
y=ト(b2−ナ)x−ニb3　･･･②
と表される。

解説を読む

点A(a, −ka2)が曲線Cy=x3−3x上にあるから
−ka2=a3−3a
a>0だからa2で割れる
$k=\frac{3}{a}-a$ →チ,ツ,テ

点(b, b3−3b)における曲線Cの接線の方程式は
y−(b3−3b)=(3b2−3)(x−b)
y=3(b2−1)x−2b2→ト,ナ,ニ
→解説を隠す←

②の右辺をg(x)とおくと
f(x)−g(x)=(x−ヌ)2(x+ネb)
と因数分解されるので，a=−ネbとなる。①と②の

表す直線の傾きを比較することにより,a2=

ノハ

ヒ

である。

したがって，求めるSの値は

フ

ヘホ

である。

解説を読む

f(x)−g(x)=x3−3x−3(b2−1)x+2b3
=x3−3b2x+2b3
ここでx=bを代入すると0になるから，因数定理を用いて因数分解する
f(x)−g(x)=(x−b)(x2+bx−2b2)
=(x−b)2(x+2b)→ヌ,ネ

①は，y=−2kax+ka2
②は，y=3(b2−1)x−2b2
これらの傾きを比較すると
−2ka=3(b2−1)

さらに $k=\frac{3}{a}-a,\hspace{3}a=-2b$
も使うと
$-2(\frac{3}{a}-a)a=3(\frac{a^2}{4}-1)$
$-6+ 2a^2=\frac{3}{4}a^2-3$
$a^2=\frac{12}{5}$ →ノハ,ヒ
$S=\frac{k}{12}a^3=\frac{1}{12}(\frac{3}{a}-a)\times a^3=\frac{a^2}{4}-\frac{a^4}{12}$
$=\frac{12}{5}-\frac{12}{25}=\frac{3}{25}$ →フ,ヘホ
→解説を隠す←

【2020年度センター試験.数学Ⅱ･B】第2問（必答問題）

　a>0とし，f(x)=x2−(4a−2)x+4a2+1とおく。座標平面上で，放物線y=x2+2x+1をC，放物線y=f(x)をDとする。また，ℓをCとDの両方に接する直線とする。

(1)　ℓの方程式を求めよう。
　ℓとCは点(t, t2+2t+1)において接するとすると，ℓの方程式は
y=(アt+イ)x−t2+ウ　･･･①
である。また，ℓとDは点(s, f(s))において接するとすると，ℓの方程式は
y=(エs−オa+カ)x
−s2+キa2+ク　･･･②
である。ここで，①と②は同じ直線を表しているので，t=ケ，s=コaが成り立つ。
　したがって，ℓの方程式はy=サx+シである。

解説を読む

(1)
Cについて，y=x2+2x+1を微分すると，y'=2x+2
したがって，(t, t2+2t+1)における接線の方程式は
y−(t2+2t+1)=(2t+2)(x−t)
y=(2t+2)x−t2+1→ア,イ,ウ　①
また，Dについて，y=x2−(4a−2)x+4a2+1を微分すると，y'=2x−(4a−2)
したがって，(s, f(s))=(s, s2−(4a−2)s+4a2+1)における接線の方程式は
y−(s2−(4a−2)s+4a2+1)=(2s−(4a−2))(x−s)
y=(2s−4a+2)x−s2+4a2+1→エ,オ,カ,キ,ク　②

①②の係数を比較すると

2t+2=2s−4a+2
−t2+1=−s2+4a2+1
簡単にすると

s−t=2
(s−t)(s+t)=4a2
すなわち

s−t=2
s+t=2a
t=0, s=2a→ケ,コ
したがって，ℓの方程式は
y=2x+1→サ,シ
→解説を隠す←

(2)　二つの放物線C, Dの交点のx座標はスである。
　Cと直線ℓ，および直線x=スで囲まれた図形の面積をSとすると，

aセ

ソ

である。

(3)　 $a\underset{=}{\gt}\frac{1}{2}$ とする。二つの放物線C, Dと直線ℓで囲まれた図形の中で0≦x≦1を満たす部分の面積Tは,a>タのとき，aの値によらず

チ

ツ

であり， $\frac{1}{2}\underset{=}{\lt}a\underset{=}{\lt}$ タのとき

T=−テa3+トa2−ナa+

ニ

ヌ

である。

(4)　次に，(2)(3)で定めたS, Tに対して，U=2T−3Sとおく。aが $\frac{1}{2}\underset{=}{\lt}a\underset{=}{\lt}$ タの範囲を動くとき，Uは

ネ

ノ

で最大値

ハ

ヒフ

をとる。

解説を読む

二つの放物線C, Dの交点のx座標は，次の連立方程式から

y=x2+2x+1･･･(C)
y=x2−(4a−2)x+4a2+1･･･(D)
C−D辺々引く
4ax−4a2=0（仮定により，a>0）
4a(x−a)=0
x=a→ス

$S=\underset{\tiny{0}}{\int^{\small{a}}}\{(x+ 1)^2-(2x+ 1)\}dx=\underset{\tiny{0}}{\int^{\small{a}}}x^2dx$
$=\big[\frac{x^3}{3}\big]_0^a=\frac{a^3}{3}$ →セ,ソ

a>1のとき→タ
$T=\underset{\tiny{0}}{\int^{\small{1}}}\{(x+ 1)^2-(2x+ 1)\}dx=\underset{\tiny{0}}{\int^{\small{1}}}x^2dx$
$=\big[\frac{x^3}{3}\big]_0^1=\frac{1}{3}$ →チ,ツ
$\frac{1}{2}\underset{=}{\lt}a\underset{=}{\lt}1$ のとき
Dとℓのy座標の差は
x2−(4a−2)x+4a2+1−(2x+1)=(x−2a)2
$T=S+\underset{\tiny{a}}{\int^{\small{1}}}(x-2a)^2dx=\frac{a^3}{3}+\big[\frac{(x-2a)^3}{3}\big]_a^1$
$=\frac{a^3}{3}+\frac{(1-2a)^3}{3}-\frac{(a-2a)^3}{3}=\frac{2a^3}{3}+\frac{(1-2a)^3}{3}$
$=\frac{1}{3}\{2a^3+ 1-6a+ 12a^2-8a^3\}$
$=-2a^3+ 4a^2-2a+\frac{1}{3}$ →テ,ト,ナ,ニ,ヌ

数学Ⅱまでの範囲で
$\int (x-\alpha)^ndx=\frac{(x-\alpha)^{n+ 1}}{n+ 1}+ C$
を
ア）　公式として覚えてもよい．
イ）　覚えていなくても，この問題のようにn=2のレベルなら，展開してから積分しても，十分間に合う．
ウ）　また，数学Ⅲまで習えば，簡単な置換積分によりこの公式を作ることができる．

$U=2T-2S=-4a^3+ 8a^2-4a+\frac{2}{3}-a^3$
$=-5a^3+ 8a^2-4a+\frac{2}{3}$
$U^{\tiny{\prime}}=-15a^2+ 16a-4a=-(5a-2)(3a-2)$

a	$\frac{1}{2}$		$\frac{2}{3}$		1
$U^{\tiny{\prime}}$	×	+	0	−	×
U	×	$\nearrow$	M	$\searrow$	×

$M=\frac{2}{3}$ のとき最大値 $-5\times\frac{8}{27}+ 8\times\frac{4}{9}-4\times\frac{2}{3}+\frac{2}{3}=\frac{2}{27}$
をとる→ネ,ノ,ハ,ヒフ
→解説を隠す←

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