二項定理,多項定理（入試問題）

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== 二項定理,多項定理（入試問題） ==
難易度の目安

基　本：★☆☆

普　通：★★☆

やや難：★★★

→ スマホ用は別頁

【二項定理】
(a+b)nの展開式におけるan−rbr (0≦r≦n)の係数は
nCr
になる．

【問題1】★☆☆
　(x+2y)6の展開式におけるx2y4の係数はである．

（2014年度京都産業大理学部）

［解説を読む］

(x+2y)6の展開式におけるx2(2y)4の係数は6C4だから
x2y4の係数は24×6C4
$2^4\times\frac{6!}{4!2!}=240$ ･･･（答）
→解説を隠す←

【問題2】★☆☆
　(x−2y)6の展開式におけるx4y2の係数はウであり，x3y3の係数はエである．

（2011年度東海大理工学部）

［解説を読む］

(x−2y)6の展開式におけるx4(−2y)2の係数は6C2だから
x4y2の係数は(−2)2×6C2
$4\times\frac{6!}{2!4!}=60$ →ウ･･･（答）
x3(−2y)3の係数は6C3だから
x4y2の係数は(−2)3×6C3
$-8\times\frac{6!}{3!3!}=-160$ →エ･･･（答）
→解説を隠す←

【問題3】★☆☆
　 $\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{x}\right)^{10}$ の展開式におけるx2の係数はアである．

（2005年度東北学院大工学部）

［解説を読む］

　 $\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{x}\right)^{10}$ の展開式における $\left(\frac{x}{2}\right)^{10-r}\left(-\frac{1}{x}\right)^{r}$ の係数は10Cr (0≦r≦10)だから

　 $\left(\frac{1}{2}\right)^{10-r}(-1)^{r}x^{10-2r}$ の係数は10Cr
　 $x^{10-2r}$ の係数は $\left(\frac{1}{2}\right)^{10-r}(-1)^{r}\times_{10}C_r$
　10−2r=2すなわちr=4のとき

$\left(\frac{1}{2}\right)^{6}(-1)^{4}\times_{10}C_4=\frac{1}{64}\times\frac{10\times 9\times 8\times 7}{4\times 3\times 2}=\frac{105}{32}$ ･･･（答） →解説を隠す←

【問題4】★☆☆
　 $\left(\frac{x^3+ 3}{x}\right)^{6}$ を展開したとき，定数項は3456である．

（2011年度慶應義塾大商学部）

［解説を読む］

$\left(x^2+\frac{3}{x}\right)^{6}$ を展開したとき，
　 $(x^2)^{6-r}\left(\frac{3}{x}\right)^r$ の係数は6Cr (0≦r≦6)
すなわち， $3^r\times x^{12-3r}$ の係数は6Cr
すなわち， $x^{12-3r}$ の係数は $3^r\times_6C_r$
　定数項となるのは，12−3r=0すなわちr=4のとき
　このとき，係数は $3^4\times_6C_4=1215$ ･･･（答）
→解説を隠す←

【問題5】★★☆
　(x+1)8(x−1)4を展開したとき，x10の係数はウである．

（2014年度慶應義塾大看護医療学部）

［解説を読む］

ア）

(x−1)4を展開したとき，x4の係数は1
(x+1)8を展開したとき，x6の係数は8C2
x4×x6の係数は1×8C2=28
イ）

(x−1)4を展開したとき，x3の係数は(−1)×4C1
(x+1)8を展開したとき，x7の係数は8C1
x3×x7の係数は(−1)×4C1×8C1=−32
ウ）

(x−1)4を展開したとき，x2の係数は(−1)2×4C2
(x+1)8を展開したとき，x8の係数は8C0
x2×x8の係数は(−1)2×4C2×8C0=6
　　x10となる組合せは以上の3通り
　　28−32+6=2･･･（答） →解説を隠す←

【多項定理】
(a+b+c)nの展開式におけるapbqcrの係数は
$\frac{n!}{p!q!r!}$
になる．（ただし，p+q+r=n, 0≦p, q, r≦n）

【問題6】★☆☆
(x+2y+3z)6を展開したとき，xy2z3の係数はである．

（2000年度中部大工学部）

［解説を読む］

(x+2y+3z)6を展開したとき，x(2y)2(3z)3の係数は
$\frac{6!}{1!2!3!}$
すなわち，xy2z3の係数は
$2^2\times 3^3\times\frac{6!}{1!2!3!}=6480$ ･･･（答）
→解説を隠す←

【問題7】★☆☆
　(x2−2x+3)5の展開式におけるxの係数はウであり，x3の係数はエであ．

（2011年度名城大薬学部）

［解説を読む］

　(x2−2x+3)5の展開式における(x2)p(−2x)q3rの係数は
$\frac{5!}{p!q!r!}$
（ただし，p+q+r=5, 0≦p, q, r≦5）
　すなわち，x2p+q(−2)q3rの係数は
$\frac{5!}{p!q!r!}$
　すなわち，x2p+qの係数は
$(-2)^q\times 3^r\frac{5!}{p!q!r!}$
　ここで，2p+q=1, p+q+r=5, 0≦p, q, r≦5となるのは，p=0, q=1, r=4の場合だけだから,係数は
$(-2)^1\times 3^4\frac{5!}{0!1!4!}=-810$ →ウ･･･（答）
また，2p+q=3, p+q+r=5, 0≦p, q, r≦5となるのは，ア） p=0, q=3, r=2の場合から,係数は
$(-2)^3\times 3^2\frac{5!}{0!2!3!}=-720$
イ） p=1, q=1, r=3の場合から,係数は
$(-2)^1\times 3^3\frac{5!}{1!1!3!}=-1080$
　合計で，−1800→エ･･･（答）
→解説を隠す←

【問題8】★☆☆

　(1+x+x2)5を展開したときのx6の係数はサである．

（2009年度早稲田大人間科学部）

［解説を読む］

(1+x+x2)5の展開式における1pxq(x2)rの係数は
$\frac{5!}{p!q!r!}$
（ただし，p+q+r=5, 0≦p, q, r≦5）
　すなわち，xq+2rの係数は
$\frac{5!}{p!q!r!}$
　ここで，q+2r=6, p+q+r=5, 0≦p, q, r≦5となるのは
ア） r=0のときq=0となって適さない
イ） r=1のときq=4, p=0 $\frac{5!}{p!q!r!}=5$
ウ） r=2のときq=2, p=1 $\frac{5!}{p!q!r!}=30$
エ） r=3のときq=0, p=2 $\frac{5!}{p!q!r!}=10$
オ） r≧4のときq<0となって適さない
以上から，45･･･（答） →解説を隠す←

【問題9】★☆☆

$\left(x^2+\frac{2}{x}+ 1\right)^6$ を展開したとき，xを含まない項はである．

（2000年度小樽商大）

［解説を読む］

　 $\left(x^2+\frac{2}{x}+ 1\right)^6$ を展開したとき， $(x^2)^p\left(\frac{2}{x}\right)^q1^r$ の係数は
$\frac{6!}{p!q!r!}$
（ただし，p+q+r=6, 0≦p, q, r≦6）
　すなわち， $x^{2p-q}\times 2^q$ の係数は
$\frac{6!}{p!q!r!}$
　すなわち， $x^{2p-q}$ の係数は
$2^q\times\frac{6!}{p!q!r!}$
　ここで，xを含まない項となるのは，2p−q=0となるとき

2p−q=0･･･(1)
p+q+r=6･･･(2)
0≦p, q, r≦6･･･(3)

この連立方程式は，一意的（ただ１通り）には解けない．方程式が２つしかないから．
※係数の大きいpの値によって場合分けすれば（方程式が1つ増えるから）解ける

ア） p=0のとき，q=0, r=6
$2^q\times\frac{6!}{p!q!r!}=1$
イ） p=1のとき，q=2, r=3
$2^q\times\frac{6!}{p!q!r!}=240$
ウ） p=2のとき，q=4, r=0
$2^q\times\frac{6!}{p!q!r!}=240$
エ） p≧3のとき，q=2p≧6となって，解なし
以上から，481･･･（答） →解説を隠す←

【二項係数の性質】

主な公式として，次のようなものがある．高校数学として，これらの公式を「覚える」ことは求められていないことが多い･･･必要なときに，求めることができればよい．（(1)(3)の証明は後出問題参照．他はこのページ参照）

(1) $_nC_0+ _nC_1+ _nC_2+\cdots+_nC_n=2^n$
(2) $_nC_0+ _nC_2+ _nC_4+\cdots=_nC_1+ _nC_3+ _nC_5+\cdots=2^{n-1}$
(3) $_nC_1+ 2_nC_2+ 3_nC_3+\cdots+ n_nC_n=n2^{n-1}$
(4) $_nC_0+\frac{1}{2}_nC_1+\frac{1}{3}_nC_2+\cdots+\frac{1}{n+ 1}_nC_n=\frac{2^{n+ 1}-1}{n+ 1}$
(5) $_nC_0^2+ _nC_1^2+ _nC_2^2+\cdots+_nC_n^2=\frac{(2n)!}{n!n!}$

【問題10】★★☆
　nは正整数とする．等式
$_nC_0+ _nC_1x+ _nC_2x^2+\cdots+_nC_nx^n=(1+ x)^n$ を用いて，次の等式が成り立つことを示せ．
(1) $_nC_0-_nC_1+ _nC_2-\cdots+(-1)^n_nC_n=0$
(2) $_nC_1+ 2\cdot_nC_2+ 3\cdot_nC_3+\cdots+ n\cdot_nC_n=n\cdot2^{n-1}$
(3) $_nC_0+ 2\cdot_nC_1+ 3\cdot_nC_2+\cdots+ (n+ 1)\cdot_nC_n=(n+ 2)\cdot2^{n-1}$

（2014年度富山県立大工学部）

［解説を読む］

(1)
与えられた等式
$_nC_0+ _nC_1x+ _nC_2x^2+\cdots+_nC_nx^n=(1+ x)^n$ にx=−1を代入する．
$_nC_0-_nC_1+ _nC_2-\cdots+(-1)^n_nC_n=0$ ･･･■証明終■
(2)
与えられた等式の両辺をxで微分すると
$_nC_1+ 2_nC_2x+\cdots+ n_nC_nx^{n-1}=n(1+ x)^{n-1}$
（なお,右辺の微分は合成関数の微分法による）
できた式の両辺にx=1を代入すると
$_nC_1+ 2\cdot_nC_2+ 3\cdot_nC_3+\cdots+ n\cdot_nC_n=n\cdot2^{n-1}$
･･･■証明終■
(3)
与えられた等式の両辺にxを掛けると
$_nC_0x+ _nC_1x^2+ _nC_2x^3+\cdots+_nC_nx^{n+ 1}=x(1+ x)^n$
両辺をxで微分すると
$_nC_0+ 2_nC_1x+ 3_nC_2x^2+\cdots+ (n+ 1)_nC_nx^{n}$
$=(1+ x)^n+ x\cdot n(1+ x)^{n-1}=(1+ x)^{n-1}(1+ x+ nx)$
$=(1+ x)^{n-1}\{1+ (n+ 1)x\}$
できた式の両辺にx=1を代入すると
$_nC_0+ 2\cdot_nC_1+ 3\cdot_nC_2+\cdots+ (n+ 1)\cdot_nC_n=(n+ 2)\cdot2^{n-1}$
･･･■証明終■
→解説を隠す←

【問題12】★★☆

　自然数nに対して $\sum_{r=0}^n_nC_r=$ 101n
$\sum_{r=0}^nr_nC_r=$ n102n−103
$\sum_{r=0}^nr(r+ 1)_nC_r=$ n(n+104)105n−106
となる． $\sum_{r=0}^nr(r+ 1)_nC_r\underset{=}{\gt}10000$ となる最小のnは108107である．

（2011年度慶應義塾大総合政策学部）

［解説を読む］

$f(x)=\hspace{1}_nC_0+ _nC_1x+ _nC_2x^2+\cdots+_nC_nx^n=(1+ x)^n$ にx=1を代入すると

$\sum_{r=0}^n_nC_r=2^n$ →101･･･（答）
$f\apos(x)=\hspace{1}_nC_1+ 2_nC_2x+\cdots+ n_nC_nx^{n-1}=n(1+ x)^{n-1}$ にx=1を代入すると
$_nC_1+ 2_nC_2+\cdots+ n_nC_n=n\cdot 2^{n-1}$
すなわち

$\sum_{r=0}^nr_nC_r=n\cdot 2^{n-1}$ →102103
$g(x)=xf(x)$ とおく，すなわち
$g(x)=\hspace{1}_nC_0x+ _nC_1x^2+ _nC_2x^3+\cdots+_nC_nx^{n+ 1}=x(1+ x)^n$ 両辺をxで微分すると
$g\apos(x)$
$=\hspace{1}_nC_0+ 2_nC_1x+ 3_nC_2x^2+\cdots+(n+ 1)_nC_nx^{n}$
$=(1+ x)^n+ x\cdot n(1+ x)^{n-1}$
$=(1+ x)^{n-1}\{1+ x+ nx\}$
$=(1+ x)^{n-1}\{1+ (n+ 1)x\}$
さらに両辺をxで微分すると
$g\apos\apos(x)$
$=\hspace{1} 2\cdot 1_nC_1+ 3\cdot 2_nC_2x+\cdots+(n+ 1)n_nC_nx^{n-1}$
$=(n-1)(1+ x)^{n-2}\{1+ (n+ 1)x\}+ (1+ x)^{n-1}\{(n+ 1)\}$
$=(1+ x)^{n-2}\{(n-1)+ (n^2-1)x+ n+ 1+ (n+ 1)x\}$
$=(1+ x)^{n-2}\{2n+ n(n+ 1)x\}$
x=1を代入すると
$2\cdot 1_nC_1+ 3\cdot 2_nC_2+\cdots+(n+ 1)n_nC_n$
$=2^{n-2}\{2n+ n(n+ 1)\}$
$=2^{n-2}(n^2+ 3n)$
$=n(n+ 3)2^{n-2}$ →104105106･･･（答）

r=0のとき， $r(r+ 1)_nC_r=0$ だから $\sum_{r=0}^nr(r+ 1)_nC_r$
$=2\cdot 1_nC_1+ 3\cdot 2_nC_2+\cdots+(n+ 1)n_nC_n$

n=8のとき $n(n+ 3)2^{n-2}=5632$
n=9のとき $n(n+ 3)2^{n-2}=13826$
だから，n=09→107108･･･（答）
→解説を隠す←

【問題11】★★☆
　以下の計算をせよ．
(ⅰ) $\sum_{k=0}^8_8C_k=$ オカキ
(ⅱ) $\sum_{k=0}^8(-1)^k\hspace{2}_8C_k+\sum_{k=0}^8_8C_k=$ クケコ

（2016年度西南学院大経済学部）

［解説を読む］

(ⅰ)
$_nC_0+ _nC_1x+ _nC_2x^2+\cdots+_nC_nx^n=(1+ x)^n$ にx=1, n=8を代入すると
$_8C_0+ _8C_1+ _8C_2+\cdots+_8C_8=2^8=256$ ･･･（答）
(ⅱ)
$_nC_0+ _nC_1x+ _nC_2x^2+\cdots+_nC_nx^n=(1+ x)^n$ にx=−1, n=8を代入すると
$\sum_{k=0}^8(-1)^k\hspace{2}_8C_k=(1-1)^8=0$ $_nC_0+ _nC_1x+ _nC_2x^2+\cdots+_nC_nx^n=(1+ x)^n$ にx=1, n=8を代入すると
$\sum_{k=0}^8_8C_k=2^8$
これらを加えると，256･･･（答） →解説を隠す←

【問題13】★★☆
　nは自然数で，a>0, b>0とするとき，次の不等式(1),(2)を証明せよ．
(1) $(1+ a)^n\underset{=}{\gt}1+ na$
(2) $(1+ b)^{\frac{1}{n}}\underset{=}{\lt}1+\frac{b}{n}$

（2005年度滋賀大教育学部）

［解説を読む］

(1)
二項定理を用いて展開すると
$(1+ a)^n=_nC_0+ _nC_1a+ _nC_2a^2+ _nC_3a^3+\cdots+ _nC_na^n$
ここで，a>0だから，右辺の第３項以下はすべて正の数になる
$(1+ a)^n\underset{=}{\gt}=1+ na$
（等号はn=1のとき．n>1のときは，不等号が成立する）
(2)
(1)の結果において， $a=\frac{b}{n}\hspace{5}(\gt 0)$ を代入すると
$(1+\frac{b}{n})^n\underset{=}{\gt}=1+ n\frac{b}{n}=1+ b$
両辺のｎ乗根をとると
$1+\frac{b}{n}\underset{=}{\gt}=(1+ b)^{\frac{1}{n}}$
→解説を隠す←

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