【問題1】☆
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1辺の長さが1の正六角形の頂点を反時計回りにA, B, C, D, E, Fとする.このとき,2つのベクトルの内積の値はアである. (2021年度 立教大学入試問題)
(解答)
• • ∠CAD=30°
基本小問セットの1番の問題で,教科書レベルです.他の問題は,こんなに簡単ではありません.
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♠〜絶対値の変形〜♣
【問題2】☆
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ベクトルがを満たすとき,とのなす角θはθ=(d)である.ただし,0°≦θ≦180°とする. (2021年度 神奈川大学入試問題)
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【問題3】☆
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平面ベクトルについて,,が成り立つとき,の値は である. (2021年度 京都産業大学入試問題)
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【問題4】☆
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ベクトルはを満たす.(tは実数)とおく.このとき,(b)であり,とのなす角が90°であるようなtの値は(c)である. (2021年度 明治薬科大学入試問題)
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♤♧〜ベクトルの垂直条件〜♡♢
【問題5】★
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2つの単位ベクトルのなす角が60°であるとする.ととが垂直であるような正の実数tの値はカである. (2021年度 京都産業大学入試問題)
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♩♪〜三角形の面積〜♠♣
【問題6】★
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Oを原点とする平面上に点A, B, Cがあり,, ,三角形ABCの重心はOであるとする.このとき,∠AOB=アである.また,イであり,三角形ABCの面積はウである. (2021年度 関西学院大学入試問題)
(解答)
θ=120°→ア 三角形ABCの重心はOであるから =1−2+4=3 →イ・・・(答) だから したがって ∠COA=φとおくと,φ=90° また ∠BOC=360°−(120°+90°)=150° ・・・(答) |
☀☂〜2直線の交点〜♠♣
【ベクトルの一次独立 ⇒ 2直線の交点の求め方】
かつ∦のとき • ⇔ ・・・(#1) • ⇔ ・・・(#2) (#1)の形で使ってもよいし,(#2)の形で使ってもよい.(#1)(#2)は互いに同値
【問題7】★
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三角形ABCにおいてとおく.線分ABの中点をP,線分ACを1:3に内分する点をQ,三角形ABCの重心をRとおく.また,2点A, Rを通る直線と線分PQの交点をS,線分SRを3:2に外分する点をTとする.このとき,次の問いに答えなさい.
また,△PQTの面積をS1,△ABCの面積をS2
(4) △PQTの面積がでベクトルのなす角が60°のときとの内積テト である. (2021年度 東北医薬科大学入試問題)
(1) PはABの中点だから AQ:QC=1:3だから (2) Rは三角形の重心だから SはAR上にあるから (sは実数)・・・(#1) また,SはPQ上にあるから (tは実数)・・・(#2) かつ∦と(#1)(#2)からの係数は,それぞれ等しいと言える. ⇔ 2s=3−3t・・・(#1') ⇔ 4s=3t・・・(#2') 連立方程式(#1')(#2')を解くと (#1)に戻すと (3) 線分SRを3:2に外分する点がTだから ST=3SR AP:AB=1:2, AQ:AC=1:4だから △APQ:△ABC=1:8 また,AS:ST=1:3だから △APQ:△PQT=1:3 したがって (4) 上記の(3)の結果から したがって |
☀☂〜2直線の交点〜♠♣
【問題8】★
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次の設問(1)〜(3)までの空欄を,あてはまる数値や記号,式で埋めなさい.空欄は全部で3箇所である. (1) をを用いて表すと1である. (2) 直線OEと辺ACの交点をFとする.をを用いて表すと2である. (3) 3である. (2021年度 獨協大学入試問題)
(解答)
(1) Oを原点とする位置ベクトルで表すとき,Dは,,の中点だから Eは,,を1:2に内分する点だから したがって ・・・(答) (別解) ・・・(答) (2) FはOE上にあるから (sは実数)・・・@ また,FはAC上にもあるから (tは実数)・・・A
【ベクトルの一次独立 ⇒ 2直線の交点の求め方】
@Aにおいて,かつ∦だからかつ∦のとき ⇔ ・・・(#1) ⇔ ・・・(#2) この連立方程式を解くと Aに戻すと ・・・(答) (3) ・・・(答) |
♤♧〜角の二等分線〜♫♬ ADが∠Aの二等分線であるとき BD:DC=BA:AC が成り立つ.
【問題9】★★
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平面上に三角形OABと点Pがある. とおく.線分OPが∠AOBを二等分し,のとき,以下の問いに答えよ. (1) θ=∠AOPとするとき,cosθの値を求めよ. (2) を満たす実数s, tを求めよ. (2021年度 日本女子大学入試問題)
(解答)
(1)(2) OPとABの交点をDとすると,角の二等分線定理により ・・・@ ここで,問題の仮定によりだから @に戻すと ・・・(答) 次に(cosθを求める) ・・・A 他方,問題の仮定により ・・・B ABより ・・・(答) 別解《2倍角公式を使う答案》 (1) だから 余弦の2倍角公式により だから ・・・(答) (2) とおくと ・・・(#1) また ・・・(#2) (#1)(#2)の連立方程式を解くと ・・・(答) |
♠♣〜ベクトルの大きさ〜♥♦
【問題10】★★★
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異なる3つの点P, Q, Rが原点Oを中心とする半径1の円C上にあり,を満たしている.ここで,点Pの座標は(1, 0)であり,点Qは第1象限にあるとする.また,△PQRの重心をGとし,とおく.このとき,次の問いに答えよ. (1) ∠QOR, ∠ROPを求めよ. (2) △PQRの面積を求めよ. (3) 動点Sが円C上の点全体を動くとし,とおく.このとき,をとを用いて表せ. (4) 動点Sが円C上の点全体を動くとき,の最大値をを用いて表せ. (2021年度 同志社大学入試問題)
(解答)
A) ベクトルのままで内積の計算を行い,cos(∠QOR)などの連立方程式を解く方法
B) 成分表示に直して,未知数がやや多めの連立方程式を解く方法等が考えられるが,いずれも容易ではない. ここでは,C) 辺の長さを手掛かりとして,余弦定理で解く方法を考えてみる. において, だから,右図のように点OP'R'をとると そこで,△OP'R'について,余弦定理を用いて,内角の大きさを求める cos(∠OP'R')= ∠OP'R'=120° cos(∠OR'P')= ∠OR'P'=45° したがって ∠R'OP'=15° ∠QOP'=120°, ∠R'OP'=15°だから ∠QOR=135°・・・(答) ∠ROP=165°・・・(答) (2) ここで ・・・(答) (3) の他に,とおくと, ここで だから 結局 ・・・(答) (4) 2つのベクトルのなす角をθとおくと,だから 等号は,θ=180°のとき したがって,最大値は・・・(答) |