確率の加法定理，余事象の確率

■解説

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《要点》【確率の加法定理】
A∩B=Ø［空集合］のとき，（A, B が排反事象のとき）
________P(A∪B)=P(A)+P(B)

【一般の加法定理】
__P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)

※　A と B に共通部分がないとき，これらは排反事象であるという．
　排反事象を表わす書き方はいろいろあり，「両立できない」「同時には成り立たない」「共通部分がない」「A∩B=Ø」など同じ意味になる．

※　「一般の加法定理」は，個数定理（和集合の要素の個数に関するもの）を全体集合の要素数Nで割ったものである．（Nで割ると確率になる．）
________n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B)

________⇒　= + −

________⇒　P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A∩B)

例１
　「袋の中に赤玉３個，白玉２個が入っているとき，この中から同時に２個取り出して同じ色の玉が出る確率」を求めるには

　「同じ色の玉が出る」ことを「赤玉が２つ」の場合と「白玉が２つ」に分けて考える．
　赤玉が２つ出る確率は =

　白玉が２つ出る確率は =

⇒ + = を答とする．

　この例では，A 「赤玉が２つ出る」，B 「白玉が２つ出る」，とするとき，A∩B=Ø［空集合］なので（A と B の共通部分がない），どちらか一方が起こる確率は「足し算で求められる」．

例２
　「1から100までの整数が書かれている100枚のカードから１枚を抽出したとき，その数が3または5で割り切れる確率」を求めるには

　3の倍数となる確率は

　5の倍数となる確率は

　15の倍数となる確率は

⇒ + − = を答とする．

　この例では，A 「3の倍数」，B 「5の倍数」，とするとき，A と B の共通部分があるので，単に P(A)+P(B) を計算すると二重に足してしまう部分ができる．そこで，二重の部分 P(A∩B) を引いて答にする．

100÷3=33･･･1
100÷5=20
100÷15=6･･･10

《要点》【余事象の確率】

________P()=1−P(A)

※　「少なくとも１つ」　⇔　余事象を考える

例３
　「３個の硬貨を投げるとき，少なくとも１枚表が出る確率」を求めるには

表表表３枚

表表裏２枚

表裏表２枚

表裏裏１枚

裏表表２枚

裏表裏１枚

裏裏表１枚

裏裏裏０枚

単純に計算すれば
表が１枚出るのは３通り，
表が２枚出るのは３通り，
表が３枚出るのは1通り，
　　⇒　計７通りとなるが，

表が０枚出るのは１通りだから
　　⇒　８-１＝７通り　で求められる．

　このようにAの確率を直接計算する代わりに，
P()=1−P(A)で計算した方が簡単なとき，この定理を使う．
　上の例では，を「表が１枚以上出る」，Aを「表が出ない(＝０枚)」としているが，逆に使ってもよい：P(A)=1−P()

※　余事象の確率は「少なくとも１つ」という言葉と結びついていることが多い．
「少なくとも１つ」（＝１以上）の余事象は「０個」になる．

※
「少なくとも２つ」（＝２以上）の余事象は「０または１」
「多くとも４つ」（＝４以下）の余事象は「５以上」
「多くとも５つ」（＝５以下）の余事象は「６以上」

※ A 以外を表わす記号は，集合の記号では「補集合」と呼ばれ，確率では「余事象」と呼ばれる．

■確率の加法定理，余事象の確率 → 印刷用PDF版は別頁問題１［確率の加法定理，一般の加法定理］ [ 第1問 / 全3問中 ] [ 採点する ]　[ Help ]　[ 次の問題 ]
問題２［余事象の確率］ [ 第1問 / 全3問中 ] [ 採点する ]　[ Help ]　[ 次の問題 ]

■［個別の頁からの質問に対する回答］[確率の加法定理，余事象の確率について／17.8.23］

(5)　赤玉３個，白玉３個，黄玉２個の計８個の玉が袋に入っている．この中から同時に３個取り出すとき，出た玉の色が２色となる確率を求めよ．の余事象を使った問題の解き方は理解できました。そこでより身につけるため余事象を使わずに問題をとこうとしたのですが、うまく答えと同じになりません。私の考えている方法は、まず、赤、白、黄の中から二色となる組み合わせ、（赤、白）、（赤、黄）、（白、黄）となり、一つを例に赤と白の組み合わせでは、赤が二個、白が一個、または、赤一個、白二個といった感じで、3C1 * 3C2 + 3C1 * 3C2 = 18と言った具合で残りの２つの組み合わせを計算しそれぞれを足したやつを8C3で割る形を取っています。すると答えは3/4となってしまいます。自分なりにこれが思いつく全てでようやく解けたと思いましが、どうやら違うようです。考え方や抜け落ちてる部分を指摘していただくことで結構ですのでよろしくお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．何もおかしいところはありません．分数計算をていねいにやればできます．
赤2白1+赤1白2 $\frac{9+ 9}{56}$
赤2黄1+赤1黄2 $\frac{6+ 3}{56}$
黄1白2+黄2白1 $\frac{6+ 3}{56}$
これらの和は $\frac{36}{56}=\frac{9}{14}$

■［個別の頁からの質問に対する回答］[確率の加法定理，余事象の確率について／17.8.23］

(2) ３で割り切れるのは {3n|34≦n≦66} の３３通り５で割り切れるのは {5n|20≦n≦39} の２０通り１５で割り切れるのは {15n|7≦n≦13} の７通り 33+20-7 / 100=46 / 100=23/50 …（答の答えが間違っていると思うので報告します。 5で割り切れる数の説明はあっていると思いますが、3で割り切れる{3n|34≦n≦66}は{3n|33≦n≦66}になると思います。あと15で割り切れる{15n|7≦n≦13}は{15n|6≦n≦13}になると思います。どちらも通り数の記載は正しいですが、上記の指摘したところは間違っていると思います。私もあまり自身がないのでできれば返信をお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．
≪３で割り切れる整数の個数について≫
n=33 のとき 3n=99 は100以上にはなりません. n≧34のときに3n≧102≧100と言えます．
≪15で割り切れる整数の個数について≫
n=6 のとき 15n=90 は100以上にはなりません. n≧7のときに15n≧105≧100と言えます．
あなたがなぜ上の感想のように思うのかよく分かりませんが，この形の問題でよく見られる間違いは，1から100までに3,5,15で割り切れる数が各々33,20,6個あるとき，101から200までにも同じ数だけあるはずだという議論です．100のところで区切りがずれるので実際に3n,5n,15nがいくらになるのかは調べてみる必要があります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[確率の加法定理，余事象の確率について／17.1.17］

問題2の(5)のイ）の(答)の中で、3色となるときの分子の最後は、3C2ではなく2C1だと思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

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