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• 順列・組合せの大学入試問題で，n!，nPr, nCr, nΠr, nHrのように「公式に数字を入れたら答が出る」☆レベルの問題も出ることはありますが，それは，基本計算小問セットとか誘導問題の前置きだけでしょう．
• 「公式だけでは解けない」問題に対して，「場合分けする」「樹形図を使う」など泥だらけになる練習が重要です
• 問題は「時間内に解かなければならない」ので「一般的な解き方を考る」「きれいに，スマートに解こう」などと欲張らない方がよい．むしろ，その問題だけに使える「個別の事情」「偶然」でも「解けたらよい」と割り切る方がよい．

【問題1】☆
　7個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5, 6を使用してできる全ての4桁の整数の個数をN，その4桁の整数のうち，両端が奇数であるものの個数をMとする．の値を求めよ．ただし，同じ数は2度以上使わないものとする．

（解答）
• 千の位の数は0以外：6通り
　百十一の位の数は：6×5×4通り
　N=6×6×5×4=720通り
• 両端の位の数の決め方は：3×2通り
　百の位と十の位の決め方は：残り5つの数から2つ取って作る順列
　5×4通り
　M=3×2×5×4=120通り
• 結局，→マ･･･（答） →解説を隠す←

【問題2】 ★
　6個の文字a, b, c, d, e, fを横1列に並べるとき，並べ方は全部でキ通りある．このうち，aがbより左にあり，かつ，cがdより左にある並べ方は全部でク通りある．

（解答）
• 並べ方は全部で 6!=720通り･･･(答)
• aがbより左にある並べ方では，a, bの入れ替えはできないから，同じ文字aが２つあるのと同じになる．c, dについても同様にして，同じ文字cが２つあるのと同じになる．
　a, a c, c, e, fの並べ方の総数は
通り･･･（答）
（別解）
• aがbより左にあるという指定により，a, bの場所が決まれば，入り方はただ1通りに決まる．すなわち，１番から６番までの番号のうちで，a, bが入るべき番号2つをもらえば，並べ方は決まる：6C2通り
• その各々について，残りの4個の番号の中でc, dが入るべき番号2つをもらえば，並べ方は決まる：4C2通り
• 残り2個の並べ方は2!通り
以上により，aがbより左にあり，かつ，cがdより左にある並べ方は
　6C2×4C2×2!=180通り
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【問題3】
　箱が6個あり，１から６までの番号がついている．赤，黄，青それぞれ２個ずつ合計６個の玉があり，ひとつの箱にひとつずつ玉を入れるとする．ただし，隣り合う番号の箱には異なる玉が入るようにする．このような入れ方は全部で何通りあるかを求めよ．

• 赤:R，青:B，黄:Yと略す
• R-Bで始まる組では，右図のように5通りが題意に合う
• R-Yで始まる組も同様だから，5通り
• 以上から，Rで始まる組は10通り
• B, Yで始まる組も同様にして10通り
• 結局，題意に合うものは30通り･･･（答）
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（解答）
(1) ☆
• 1の位の数の決め方は1通り
• その各々について，上位4桁の数の決め方は4!=24通り
• 従って，1×24=24通り･･･（答）
• 5桁の整数の作り方は，全体で5!=120通り
• 確率は，･･･（答）
(2) ★
• 1の位の数の決め方は，2と4の2通り
• その各々について，上位4桁の数の決め方は4!=24通り
• 従って，2×24=48通り･･･（答）
• 5個の数から2個とって来ると，十の位の数が一の位の数よりも大きくなる並べ方は，ただ1通りに決まる．
　5C2=10通り
• その各々について，上位3けたの数の決め方は3!=6通り
• したがって，10×6=60通り･･･（答）
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【問題5】★★
　6個の数字1, 2, 3, 4, 5, 6から異なる5個の数字を並べて5桁の整数を作るとき，次の問いに答えよ．
(1)　2の倍数の個数と3の倍数の個数をそれぞれ求めよ．
(2)　6の倍数の個数を求めよ．
(3)　5の倍数で大きい方から50番目の整数を求めよ．
(4)　30と互いに素である整数の個数を求めよ．

（解答）
(1)
• 一の位の数が偶数であることが2の倍数であるための条件だから
　一の位の数の決め方が， {2, 4, 6} の3通り
　その他の位の数の決め方は，5×4×3通り
結局，2の倍数の個数は，3×5×4×3=360個･･･（答）
• 各位の数の和が3の倍数になることが3の倍数であるための条件だから
　{1, 2, 3, 4, 5}を並べたもの 5!=120通り
　{1, 2, 4, 5, 6}を並べたもの 5!=120通り
結局，3の倍数の個数は，120+120=240個･･･（答）
(2)
• 3の倍数のうちで2の倍数であるものが6の倍数であるから
　{1, 2, 3, 4, 5}を並べたもののうちで，
一の位の数が {2, 4}となるものは
　　2×4!=48通り
　{1, 2, 4, 5, 6}を並べたもののうちで，
一の位の数が {2, 4, 6}となるものは
　　3×4!=72通り
合計，48+72=120個･･･（答）
(3)
• 一の位の数が {0, 5} であることが2の倍数であるための条件だから
　一の位の数は5
　大きい方から順に，万の位が6であるものは 6□□□5 ⇒ 4P3=24通り
　万の位が4であるものは 4□□□5 ⇒ 4P3=24通り
　その次の数は 36425, 36415 だから大きい方から50番目の整数は，36415･･･(答)
(4)
• 6個の数字1, 2, 3, 4, 5, 6から異なる5個の数字を並べて5桁の整数を作る並べ方の総数は
　　6P5=720個
• そのうちで，2, 3, 6の倍数は，(1)の結果から
　　360, 240, 120個
• この問題では，5の倍数は，一の位の数が5だけで，2の倍数は一の位の数が2,4,6だけだから，2の倍数と5の倍数の共通部分はない ⇒ 図の×印は空集合
• 5の倍数は，一の位の数が5だから
　　1×5×4×3×2=120個
• 5の倍数のうちで，3の倍数になるものは
ア） {1,2,3,4}を並べ替えたものと{5} ⇒ 4!=24個
イ） {1,2,4,6}を並べ替えたものと{5} ⇒ 4!=24個
合計48個
• 以上の結果を「集合の要素の個数が重ならないように」数えあげると，右図のようになる．
• 30と互いに素である数は，2でも3でも5でも割り切れない数だから，右図の三ツ輪マークの外側
　　720−(240+120+72+48+72)=168個･･･（答）
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【問題6】
　男子A, B, C, Dと女子E, F, G, Hの8人がいる．
(�@)　この8人から6人を選んで1列に並べるとき，並べ方は全部でキ通りである．
(�A)　この8人から6人を選んで1列に並べるとき，男女が交互に並ぶ並べ方はク通りである．
(�A)　この8人から6人を選んで輪の形に並べるとき，どの女子も隣り合わない並べ方はケ通りである．

（解答）
(�@) ☆
　8P6=8×7×6×5×4×3=20160通り
(�A) ★
(�B) ★★
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【問題7】☆
　赤球3個，青球2個，白球1個の計6個の球を横一列に並べるとき，並べ方は全部でニヌ通りある。

（解答）
通り
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【問題8】☆
　1と書かれたカードが1枚，2と書かれたカードが2枚，3と書かれたカードが3枚，4と書かれたカードが4枚ある。これら10枚のカードを横1列に並べて10桁の数を作る。この方法で作られる10桁の数は全部で(�G)個ある。

（解答）
1,21,22,31,32,33,41,42,43,44の10個の異なるものがあるとき，これら全部を横1列に並べてできる順列の総数は
　　10!通り
しかし，実際には21,22は同じものであるから，これらだけを入れ替えた2！倍だけ余計に数えていることになるから，「2と書かれたカードが2枚ある」ときには
　　10!÷2!通り
さらに，31,32,33の3個は同じものであるという当初の前提，41,42,43,44の4個は同じものであるという当初の前提を考えると，各順列で3!倍，4!倍だけ余計に数えたことになるから，結局，もとの前提で，同じものがあるときの順列の総数は
　　通り･･･（答）
�@，�A，･･･�Iの10個の番号札があるとして，もらった番号札が各々の札の並べ先を表すものとする．例えば，1のカードのために�Dの番号札をもたった場合には，1のカードは5番目に置くものとする．
　1のカードを並べる順番を表す番号札を1枚もらう方法は
　　10C1通り
　その各々について，残りの9枚の番号札の中から，2のカードを並べる順番を表す番号札を2枚もらう方法は
　　×9C2通り
　その各々について，残りの7枚の番号札の中から，3のカードを並べる順番を表す番号札を3枚もらう方法は
　　×7C3通り
　その各々について，残りの4枚の番号札の中から，4のカードを並べる順番を表す番号札を4枚もらう方法は
　　×4C4=1通り
以上から，全部で
　　10C1×9C2×7C3×1=12600通り･･･（答）
→解説を隠す←

【問題9】
　自然数m, nがm≧nを満たすとする．aという文字がm個，bという文字がn個あり，それらの合計m+n個の文字を1列に並べるとき，下の問いに答えなさい．
(1)　並べ方は全部で何通りあるかを求めなさい．
(2)　bbという文字列を含まない並べ方は全部で何通りあるかを求めなさい．
(3)　aabという文字列を含まない並べ方は全部で何通りあるかを求めなさい．

（解答）
(1) ☆
･･･（答）
(2) ★★
先にａを並べる→1通り
両端を含めて，ａのすき間にｂを置くと，ｂは隣り合わない．
･･･（答）
(3) ★★★=（数学Bの内容を含む）
ア） 右端に集めて置いたａは，条件に反しない
イ） �@左側に，残りのａを１つずつｂのすき間に置く（右端のｂの右側は数えない）
�Aこの条件に合うように，イ）に使うａはｂの個数以下とする．
• ａを全部右に寄せる方法は1通り
• ａのm−1個を右に寄せ，残り1個のａとｂをそれらの左に置く方法は
通り
• ａのm−2個を右に寄せ，残り2個のａとｂをそれらの左に置く方法は
通り
• ａのm−n個を右に寄せ，残りn個のａとｂをそれらの左に置く方法は
通り
これらの和を求めると

二項係数の性質により，この和は
に等しい･･･（答）
→解説を隠す←

【問題10】
　a, a, a, a, b, b, b, c, c, dの10文字を1列に並べる順列を考える．
(1)　このような順列の総数を求めよ．
(2)　2つのcが隣り合うような順列の総数を求めよ．
(3)　cとdが隣り合わないような順列の総数を求めよ．

（解答）
(1) ★
･･･（答）
(2) ★
2つのcを束ねて，a, a, a, a, b, b, b, c, c, dの9個のものの並べ方を数える
･･･（答）
(3) ★★
隣り合っているものを全体から引いて求める
ア）　c, c, dが隣り合っている並べ方
　a, a, a, a, b, b, b, c, c, dの8個のものの並べ方を数える．
　同じものaが4個，bが3個あるから,並べ方は

　その各々について，c, c, dの内部交換で3倍ずつあるから
　280×3=840
イ）　c, c, dが隣り合わない並べ方
　同じものa4個，b3個を先に並べて，そのすき間（両端を含む）8箇所から2箇所を選んでc, c, dを置くと，c, c, dは互いに隣り合わない．
　a4個，b3個の並べ方は

�@�A�B�C�D�E�F�G
↓↓↓↓↓↓↓↓
　a, a, a, a, b, b, b
上の�@〜�Gの箇所から2つ選んでc, c, dを置く方法は

さらに，c, dが隣り合っている箇所での内部交換で2倍になる
したがって

ア）イ）から，c, dが隣り合う並べ方は，
　840+3920=4760
(1)で求めた全体から引くと
　12600−4760=7840通り･･･（答）
→解説を隠す←

（解答）
• 回転して重なる塗り方を重複して数えないように「赤を底」に固定する．（別に，天井に固定してもよいし，白を底面に固定しても構わないが，とにかく１つの色を，特定の場所に固定すると立体的に回転して重なるものを重複して数えることは防げる）
• 赤の向かい側（天井面）の決め方は，5通り
• 上記で決めた底面と天井面のそれぞれに対して，側面に残り４色を塗るときに，水平方向に回転して重なるものは重複して数えないように「４色の円順列」の総数で数える･･･3！=6通り
• 以上から，5×6=30（通り）･･･（答）
→解説を隠す←

【問題12】★★
　白玉１個，赤玉2個，青玉4個でブレスレットを作るとき，作る方法は何通りあるか．

• 平面内で，回転して重なるものを重複して数えるのを避けるために，上端を白玉に固定する．
• 平面内で，残りの赤玉2個，青玉4個の並べ方は（同じものがあるときの順列）
通り
• 以上のようにしてできた円順列のうちで，左右対称のものは，立体として裏返しても同じだから，1つと数える

• 上図の左側にあるものは，円順列として同じものなので，もともと１回だけ数えている．計3個
• 右側にあるもの（残り12個）は，円順列としては別物と数えているが，左右対称なものが１組ずつある．これらは，ブレスレットとしては裏返せば同じものになるから，12÷2=6個
よって，3+6=9通り･･･（答） →解説を隠す← ♪〜an≠nとなる順列〜♥

【問題13】★★
　1, 2, 3, 4, 5を1回ずつ使って作られる5桁の数のうち，一の位が1でなく，かつ十の位が2でないような数は全部で(イ)個ある．

(2018年度 小樽商科大学入試問題)

解説を読む

【問題14】
　トランプを使って行うゲームの一つであるポーカーは，プレイヤーのもつ5枚のカードの組合せの強さを競うゲームである．トランプはジョーカーを除いた，スペード(♠)・クラブ(♣)・ダイヤモンド(♢)・ハート(♡)の4つのスート（あるいはスーツとも呼ばれる）のそれぞれに1から13までの数が書かれた52枚のカードからなる（1，11，12，13の代わりに，A, J, Q, Kの記号を用いることが多い）．5枚のカードの組合せには，強い順に以下の種類がある． なお，Aを1と考えて，A, 2, 3, 4, 5がストレートおよびストレートフラッシュになるだけでなく，AをKに続く数と考えて10, J, Q, K, Aもストレートおよびストレートフラッシュとして許す．しかし，Aを超えてJ, Q, K, A, 2のように2まで含めるものは許さない．
52枚のカードから， 5枚を抜き出す組合せの数は52C5=2598960通りあるが，それがストレートフラッシュとなる組合せの数を求めてみよう．ストレートフラッシュの5枚のカードの最小の数は1, 2, ···, (21)(22)のどれかであるから，それぞれのスートごとに(21)(22)通り考えられる.よって,4×(21)(22)=(23)(24)通りのストレートフラッシュの組合せがある．また，ストレートについては，数は順番に並んでいるが，スートが揃っていない組合せの数なので(25)(26)(27)(28)(29)通りある．
次に，フルハウスとなる組合せの数を求めてみよう．同じ数のカードが3枚と2枚のふたつの組があり，3枚の組を選ぶ組合せは(30)(31)×4C3通り，残りの2枚のカードを選ぶ組合せは(32)(33)×4C2通りであるから，フルハウスとなる組合せの数は(30)(31)×4C3×(32)(33)×4C2=(34)(35)(36)(37)通りである．ただし，(30)(31)≧(32)(33)とする．

問題は長いが，いつかやった遊び．すらすらと解ける．
• (21)(22)←10
• (23)(24)←40
• (25)(26)(27)(28)(29)←10×45のうちで，ストレートフラッシュ40通りを除いたもの=10200
• (30)(31)←13
• (32)(33)←12
• (34)(35)(36)(37)←13×4×12×6=3774 →解説を隠す←

【問題15】
　1辺の長さが1である立方体Cがある．次の問いに答えよ．
(1)　Cの頂点から異なる2個の頂点を選ぶ選び方は何通りあるか求めよ．
(2)　Cの頂点から異なる2個の頂点を選ぶとき，その2点を結ぶ線分が立方体Cの辺となる確率を求めよ．
(3)　Cの頂点から異なる3個の頂点を選ぶとき，その3点を頂点とする三角形が直角三角形となる確率を求めよ．
(4)　Cの頂点から異なる4個の頂点を選ぶとき，その4点が体積の四面体の頂点となる選び方は何通りあるか求めよ．

(1) ☆
　8C2=28通り･･･（答）
(2) ★
　Cの頂点から異なる2個の頂点を選ぶ方法の総数はN=28
2点を結ぶ線分が立方体Cの辺となる場合の数はn=12
求める確率は
･･･（答）
(3) ★★★
• いろいろ試してみると，もとの立方体の１つの辺（長さが1の辺）を１つでも含んでいると，直角三角形になる．頂点3個の選び方，全部でN=8C3=56通りのうちで，ほとんどが直角三角形になる．
• 直角にならない方が少ないので，こちらを数えて，余事象の定理で解くことを考える．
　例えば，右図の1つの頂点{2}からの距離が1の3点{1,6,3}を結ぶ三角形は正三角形で，直角三角形ではない．このような正三角形が各頂点に対してある→8個
･･･（答）
(4) ★★★
• Cの頂点から異なる4個の頂点を選ぶ方法は，全部でN=8C4=70通りある．
• その中には，
ア)　2辺が{1,2}{2,3}のように，立方体の隣り合う2辺の場合（2辺以上=3辺の場合も含む）
1) 第4の頂点が{1,2,3}と同一平面にあれば，体積は0
2) 第4の頂点が{5,6,7,8}の平面にあれば，体積は1/6
となるから，題意に適さない
イ)　{1,2}のように，１辺が立方体の辺で，他が正方形の対角線または立方体の対角線の場合
体積は1/6になる
ウ)　立方体の辺となるものが１つもなく，正方形の対角線だけでできているもの（正方形の対角線と立方体の対角線だけでは四面体はできない･･･やってみればわかる）
⇒ {1,3,6,8},{2,4,5,7}の2通り･･･（答）
立方体から{1,2,3,6}の形の四角錘を4個取り除いたものになるから，体積は，

※） 　頂点4個の組合せと体積一覧は，次の通り

　この一覧表を試験会場で書いている訳には行かないので，上記のような論述を考える． →解説を隠す←

【問題16】
　8個の果物を3個の箱に分けたい．次のように分ける方法は，それぞれ何通りあるか求めよ．
(1)　同じ種類の果物8個を区別のない3個の箱に分ける．ただし，果物が1個も入っていない箱ができてもよいものとする．
(2)　同じ種類の果物8個をA, B, Cの3個の箱に分ける．ただし，果物が1個も入っていない箱ができてもよいものとする．
(3)　異なる種類の果物8個をA, B, Cの3個の箱に分ける．ただし，どの箱にも少なくとも1個の果物は入れるものとする．

(1) ★
箱を区別しないから，少ない順に並べた組合せで調べる
{0,0,8},{0,1,7},{0,2,6},{0,3,5},{0,4,4},{1,1,6},{1,2,5},{1,3,4},{2,2,4},{2,3,3}の10通り･･･（答）
(2) ☆
A, B, Cの名前を，重複を許して8回呼ぶ方法（呼ばれたら1個もらえる）の総数
　3H8=3+8−1C8=10C8=･･･（答）
(3) ★★
果物が1個も入っていない箱ができてもよいものとする場合
　38=6561通り
ア） 1つの箱に8個の果物を入れる場合
　3通り
イ） 2つの箱に8個の果物を入れる場合
　28=256
　ただし，この中には1つの箱に全部入る場合が2通り含まれているから
　256−2=254通り
2つの箱の選び方が
　3C3=3通り
　結局，254×3=762通り
全体から，アイ）の場合を引くと
　6561−3−762=5796通り
→解説を隠す←

【問題17】★
　6個のボールを3人に分ける．次の各問に答えよ．
(1)　1から6までの番号が1つずつ書いてある6個のボールをA, B, Cの3人に分ける方法は何通りあるか．ただし，ボールを1個ももらわない人がいてもよいものとする．
(2)　1から6までの番号が1つずつ書いてある6個のボールをA, B, Cの3人に分ける場合，次の個数の組に分ける方法は何通りあるか．
　(�@)　3個，2個，1個　　（�A）　2個，2個，2個
(3)　番号がなく，区別のつかない6個のボールをA, B, Cの3人に分ける方法は何通りあるか．ただし，ボールを1個ももらわない人がいてもよいものとする．

(1)
• 1のボールの行き先は，A, B, Cの3通り．その各々について，2のボールの行き先は，A, B, Cの3通り．･･･その各々について，6のボールの行き先は，A, B, Cの3通り．
• 積の法則により，36=729通り･･･（答）
(2)
(�@)　3個，2個，1個の組を作る方法は
　　6C3×3C2×1通り
　その各々について，A, B, Cの3人に配る方法が
　　3!通り
積の法則により
　　6C3×3C2×1×3!=60×6=360通り･･･(答)
(�A)
6個の中からAに配る2個を選ぶ方法は
　　6C2通り
その各々について，残り4個の中からBに配る2個を選ぶ方法は
　　4C2通り
その各々について，残り2個の中からCに配る2個を選ぶ方法は
　　2C2=1通り（これは自動的に決まる）
以上から，積の法則により
　　6C2×4C2×1=90通り･･･（答）
(3)
• 異なる3人A, B, Cの名前を合計6回呼ぶ方法（1回も呼ばれない人がいてもよい）
　　3H6（重複組合せ）
　　=3+6−1C6=8C6=28通り･･･（答）
→解説を隠す←

【問題18】★
　7個の玉をA, B, Cの3人に分ける方法は何通りあるか．ただし，7個の玉は区別できないものとする．また，1個ももらえない人がいてもよいとする．

（解答）
重複組合せの解説および基本問題は，このページ，このページにあります．
　異なる3人の名前を重複を許して7回呼ぶ方法と考えると
　　3H7=3+7−1C7=9C7=36通り･･･（答） →解説を隠す←

（解答）
(1)★
• x+y+z=8となる整数x, y, z≧0の組の個数は，3H8で求められるが，この解には，x, y, zのうちの幾つかが0の場合も含まれる．例えば，x=8, y=0, z=0も１組の解として含まれる．
• これに対して，x+y+z=8 (x, y, z≧1)となる自然数の組の個数を求めるには，はじめから1つずつ配っておくとよい．すなわち
　x'+y'+z'=5 (x', y', z'≧0, x=x'+1, y=y'+1, z=z'+1)
• 求める組の個数は
　3H5=3+5−1C5=7C5=･･･（答）
(2)★
　はじめからx, y, zに1つずつ配っておき，残りの和がn−3になればよいから
　x'+y'+z'=n−3 (x', y', z'≧0)
となる解の組の個数を求めるとよい
　3Hn−3=3+n−3−1Cn−3=n−1Cn−3=
･･･（答）
　ただし，n=1, 2のとき，解はないが，上記の式にn=1, 2を代入すると，結果が0となるから，n=1, 2のときもこれでよい． (3)★★★
(2)の結果から，k=1, 2のときも含めて，x+y+z=k (x, y, z≧1)となる自然数の組の個数は


･･･（答）
（n=1, 2のときもこれでよい．）
→解説を隠す←

【問題20】★★★
(1)　5以下の異なる3個の自然数の総和として表される自然数は何個あるか．
(2)　自然数m, nをm<nのようにとる．m個の自然数
a1, a2,… , amを
1≦a1<a2<… <am≦n のようにとり，和a1+a2+…+amを考える．この形で表される自然数は何個あるか．

（解答）
(1)
• 1+2+3=6となる場合が最小値
　3+4+5=12となる場合が最大値
• 両端を含むこの区間12−6+1=7個の値を「�@もれなく」取り得ることを示せばよい．なお，「�A重複」はあってもよい．

• 上の図の最小値ア）から最大値キ）まで，1度に1駒ずつ右に移動させると，和は1つずつ増えるから，ア）の和6からキ）の和12までの値を「�@もれなく」取る．
　なお，「右の駒が行き詰ったときだけ左の駒を動かす」など（上記のこのルールで移動させている）駒を動かすルールを決めておかないと，同じ値を「�A重複」して数えることになる．
　例えば，ウ)'エ)'オ)'のように，右が行き詰っていないのに左の駒を進めると，ウ)エ)オ)と同じ値の組になる．
　5C3=10個の値のうちで，3個の値8, 9, 10は重複して現れるので，値としては，上記のように7個になる．
　　　7個･･･（答）
(2)
• a1=1, a2=2, …, am=mとなる場合に，最小値となる．
• a1=n−m+1, a2=n−m+2, …, am=nとなる場合に，最大値となる．
• 最大値となる場合は，最小値となる場合に比べて，各項がn−mだけ大きいから，その差は(n−m)m
　したがって，自然数は全部で，(n−m)m+1個･･･（答）
→解説を隠す←