独立な試行の確率，反復試行の確率

■独立な試行の確率，反復試行の確率≪解説≫

【独立な試行の確率】《要点》
A , B が独立であるとき，A も B も起こる確率は P(A)·P(B) で求められる．

【例１】　さいころを２回投げて１回目に３以下，２回目に４以下の目が出る確率

図１
	1	2	3	4	5	6
1	○	○	○	○
2	○	○	○	○
3	○	○	○	○
4
5
6

式1

式2

　ここまでに習った考え方で，図1のように１回目，２回目の起こり得るすべての場合を N=36 と考えるときは，
　式１のように計算して，

P = = とする．

　しかし，この問題では１回目に出る目は２回目に出る目に影響していないので，
　式２のように１回目に３以下となる確率（）と２回目に４以下となる確率（）の積でも求めることができる．

⇒　このように，A , B が独立であるとき，A も B も起こる確率は P(A)·P(B) で求められる．

例題
　さいころを2回投げるとき２回とも偶数の目が出る確率

　１回目に偶数(2 , 4 , 6)が出る確率は，２回目に偶数(2 , 4 , 6)が出る確率はでこれらは独立だから

p=×=

## 独立でない場合 ##
　赤玉３個，白玉２個が入っている袋から，玉を１つずつ取り出し，取り出した玉は元に戻さない場合に，赤玉が２回出る確率･･･（非復元抽出という）

図２

　取り出した玉を元に戻さない場合は，１回目に起こったことは２回目の出方に影響する：

（ア）　１回目に赤玉が出たとき，袋の中は赤玉２個，白玉２個の計４個になるから，
　２回目に赤が出る確率は

（イ）　１回目に白玉が出たとき，袋の中は赤玉３個，白玉１個の計４個になるから，
　２回目に赤が出る確率は

⇒　このように取り出した玉を元に戻さないときは，１回目に A が起こることと２回目に B が起こることは独立ではない．

⇒　取り出した玉を元に戻すときは，「独立な試行の確率」が適用できるが，取り出した玉を元に戻さないときは「独立な試行の確率」が適用できない．

※　この問題を今までに習った方法で解くには，
１回目の玉の出方は5通り，そのそれぞれについて２回目の玉の出方は4通り → N=20 通り
　１回目に赤が出るのは3通り，その各々について２回目に赤が出るのは２通り → n=6 通り
p = =
とする．

※　この問題で，１回目に取り出した玉を元に戻すとき（復元抽出という．）は，１回目の玉と２回目の玉はお互いに影響されず，赤赤と出る確率は
p = × =

で求められる．

【反復試行の確率】《要点》
１回の試行で事象 A が起こる確率が p のとき，この試行を n 回繰り返してA が r 回起こる確率は nCr pr qn−r ただし，q= 1−p

（解説）
○　５回のうち A が３回起こる確率で調べると，

　事象 A が起こる確率が p のとき，この試行を 5 回繰り返して A が 3 回起こる確率は，次の各場合を足せばよい．　 (1)　pppqq=p3q2
(2)　ppqpq=p3q2
(3)　ppqqp=p3q2
(4)　pqppq=p3q2
(5)　pqpqp=p3q2
(6)　pqqpp=p3q2
(7)　qpppq=p3q2
(8)　qppqp=p3q2
(9)　qpqpp=p3q2
(10) qqppp=p3q2 ⇒上の各式を足したとき，p3q2 が10回登場するから，
回数が係数になって，和は 10 p3q2 になる．

(1)　AAA となる場合 ⇒ pppqq=p3q2 だけでなく
A が起こる順序だけが異なり，A が合計３回となっているものはすべて当てはまる．このようなものは上のように(1)～(10)の10通りあるから，その確率は 10 p3q2 になる．

○　この係数10は次のようにして求められる：

ア）「同じものがあるときの順列」で考える場合

p が３個，q(=1−p) が２個あるとき，これらを並べ替えてできる順列の総数は通りあるから，

p3q2 は回登場し，その和は， p3q2

ここで，=5C3 と書けるから，5C3p3q2

イ）「組合せ」で考える場合

p が３個，q(=1−p) が２個あるとき，これらを並べ替えてできる順列は並び方の番号札①②③④⑤のうち p の行き先の番号札３個（組合せ）で決まる．
　たとえば， p の行き先の番号札が①③④のときは pqppq になる．p の行き先の番号札が①④⑤のときは pqqpp になる，など．
　このように考えれば，p ３個，q(=1−p) ２個を並べ替えてできる順列の総数は，5C3 通りあるから，確率の合計は 5C3p3q2 になる．

○　一般に
　１回の試行で事象 A が起こる確率が p のとき，この試行を n 回繰り返してA が r 回起こる確率は，pr qn−r となる場合が，nCr 通りあることから，それらの合計は nCr pr qn−r で求められる．

例題
　硬貨を5回投げるとき表がちょうど3回出る確率

　１回の試行で表が出る確率は p = ，表が出ない確率は q=1−p = だから

5回のうち表がちょうど3回出る確率は
5C3()3()2=10· =

例題
　さいころを6回投げるとき１の目がちょうど2回出る確率

　１回の試行で１の目が出る確率は p = ，１の目

が出ない確率は q=1−p = だから

6回のうち１の目がちょうど2回出る確率は
6C2()2()4=15· =

≪問題1.1≫
さいころを２回投げるとき，１回目は３以下，２回目は３以上の目が出る確率を求めよ．

0 1 2 $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{3}$ $\frac{1}{6}$ $\frac{5}{8}$

$\frac{3}{16}$ $\frac{5}{16}$ $\frac{17}{24}$ $\frac{1}{36}$ $\frac{671}{1296}$

解説

３以下となる出方は　(1)(2)(3)(*)(*)(*) の３通り
３以上となる出方は　(*)(*)(3)(4)(5)(6) の４通り
１回目の出方は２回目の出方に影響しない．
$\frac{3}{6}\times \frac{4}{6}=\frac{1}{3}$ …（答）

≪問題1.2≫
２人の生徒Ａ，Ｂがある試験に合格する確率が各々 $\frac{2}{3}$ ， $\frac{3}{4}$
のとき，Ａが合格，Ｂが不合格となる確率を求めよ．

0 1 2 $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{3}$ $\frac{1}{6}$ $\frac{5}{8}$

$\frac{3}{16}$ $\frac{5}{16}$ $\frac{17}{24}$ $\frac{1}{36}$ $\frac{671}{1296}$

解説

$\frac{2}{3}\times \frac{1}{4}=\frac{1}{6}$ …（答）

≪問題1.3≫
１と書かれた玉が３個，２と書かれた玉が２個，３と書かれた玉が１個，計６個が入っている袋から玉を３回取り出して番号を調べる．取り出した玉はその都度元に戻すものとして，１，２，３の順に玉が出る確率を求めよ．

0 1 2 $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{3}$ $\frac{1}{6}$ $\frac{5}{8}$

$\frac{3}{16}$ $\frac{5}{16}$ $\frac{17}{24}$ $\frac{1}{36}$ $\frac{671}{1296}$

解説

（玉を復元するので各回の出方は独立）
１回目に１が出る確率は
$\frac{3}{6}$
２回目に２が出る確率は
$\frac{2}{6}$
３回目に３が出る確率は
$\frac{1}{6}$
各回の出方は独立だから，
$\frac{3}{6}\times \frac{2}{6}\times \frac{1}{6}=\frac{1}{36}$ …（答）

≪問題1.4≫
Ａ，Ｂ，Ｃの３人が的に矢を当てるゲームを行う．

Ａが当たる確率は $\frac{1}{2}$ ，Ｂが当たる確率は $\frac{2}{3}$ ，Ｃが当たる確率は $\frac{3}{4}$ とするとき，この３人が１回ずつゲームをして２人以上当たる確率を求めよ．

0 1 2 $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{3}$ $\frac{1}{6}$ $\frac{5}{8}$

$\frac{3}{16}$ $\frac{5}{16}$ $\frac{17}{24}$ $\frac{1}{36}$ $\frac{671}{1296}$

解説

P(A∩B) , P(B∩C) , P(C∩A) を加えると右図のように
P(A∩B∩C) が３重に加えられるから， P(A∩B∩C)×2 を引けばよい．

P(A∩B)= $\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}=\frac{1}{3}$
P(B∩C)= $\frac{1}{2}\times \frac{3}{4}=\frac{1}{2}$
P(C∩A)= $\frac{3}{4}\times \frac{1}{2}=\frac{3}{8}$
P(A∩B∩C)= $\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}\times \frac{3}{4}=\frac{1}{4}$
$\frac{1}{3}+ \frac{1}{2} + \frac{3}{8}-\frac{1}{4}\times 2=\frac{17}{24}$ …（答）

≪問題2.1≫
硬貨を５枚投げるとき，４枚以上表が出る確率を求めよ．

0 1 2 $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{3}$ $\frac{1}{6}$ $\frac{5}{8}$

$\frac{3}{16}$ $\frac{5}{16}$ $\frac{17}{24}$ $\frac{1}{36}$ $\frac{671}{1296}$

解説

４枚表が出る確率は
$_5 C _4\times (\frac{1}{2})^4\times \frac{1}{2}=\frac{5}{32}$
５枚表が出る確率は
$_5 C _5\times (\frac{1}{2})^5=\frac{1}{32}$
排反事象の加法定理により
$\frac{5}{32}+ \frac{1}{32}=\frac{6}{32}=\frac{3}{16}$ …（答）

≪問題2.2≫
さいころを４回に投げるとき，少なくとも１回６の目が出る確率を求めよ．

0 1 2 $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{3}$ $\frac{1}{6}$ $\frac{5}{8}$

$\frac{3}{16}$ $\frac{5}{16}$ $\frac{17}{24}$ $\frac{1}{36}$ $\frac{671}{1296}$

解説

４回とも６以外となる確率は
$(\frac{5}{6})^4=\frac{625}{1296}$
少なくとも１回６の目が出る確率は
$1-\frac{625}{1296}=\frac{671}{1296}$ …（答）

≪問題2.3≫
硬貨を投げて，表が出れば点 P は x 軸の正の方向に２進み，裏が出れば負の方向に１進むものとする．初め原点にあった点 P が硬貨を５回投げた後に x=1 の位置にある確率を求めよ．

0 1 2 $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{3}$ $\frac{1}{6}$ $\frac{5}{8}$

$\frac{3}{16}$ $\frac{5}{16}$ $\frac{17}{24}$ $\frac{1}{36}$ $\frac{671}{1296}$

解説

５回のうち r 回表が出るとすると点 P の位置は 2r−(5−r)=3r−5 になるから，3r−5=1 より r=2
５回のうち２回表が出る確率は
$_5 C _2\times (\frac{1}{2})^2 (\frac{1}{2})^3=\frac{5}{16}$ …（答）

≪問題2.4≫
（ややむずかしい）
　硬貨を投げて，表が出れば点 P は x 軸の正の方向に１進み，裏が出れば負の方向に１進むものとする．点 P が初め原点にあったとき，硬貨を６回投げた後にどの位置にある確率が最も高いか．

0 1 2 $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{3}$ $\frac{1}{6}$ $\frac{5}{8}$

$\frac{3}{16}$ $\frac{5}{16}$ $\frac{17}{24}$ $\frac{1}{36}$ $\frac{671}{1296}$

解説

６回のうち表が r 回出る確率は
$_6 C _r\times (\frac{1}{2})^r (\frac{1}{2})^{6-r}= _6 C _r\times \frac{1}{64}$
　6Cr が最大となる r の値を求めると，
6C0=1, 6C1=6, 6C2=15, 6C3=20, 6C4=15, 6C5=6, 6C6=1 だから r=3 のとき最大となる
　表が３回出たとき，点 P の位置は x=3−(6−3)=0 にある． …（答）

≪問題2.5≫
野球でＡチームとＢチームが試合を行い，どちらかのチームが先に４勝するまで試合を行うとき，第６試合が行われる確率を求めよ．
　ただし，両チームの実力は等しく，引き分けはないものとする．

0 1 2 $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{3}$ $\frac{1}{6}$ $\frac{5}{8}$

$\frac{3}{16}$ $\frac{5}{16}$ $\frac{17}{24}$ $\frac{1}{36}$ $\frac{671}{1296}$

解説

第５試合が終わったとき，Ａが２勝３敗または３勝２敗のとき第６試合が行われる．
第５試合が終わったとき，Ａが２勝３敗となる確率は
$_5 C _2\times (\frac{1}{2})^2 (\frac{1}{2})^3=\frac{5}{16}$
第５試合が終わったとき，Ａが３勝２敗となる確率は
$_5 C _3\times (\frac{1}{2})^3 (\frac{1}{2})^2=\frac{5}{16}$
求める確率は
$\frac{5}{16}+ \frac{5}{16}=\frac{5}{8}$ …（答）

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■［個別の頁からの質問に対する回答］[独立な試行の確率，反復試行の確率について／16.10.10］

ありがとうございますわかりました！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．