解と係数の関係

****************（以下は参考）*****************
○　２次方程式の解と係数の関係

　２次方程式 ax2+bx+c=0 ( a≠0 ) の２つの解を α,β とすると， α+β=−

αβ= が成り立つ．

（証明）
　２次方程式の解の公式により，

α= , β=

とすると，

α+β=+==−

αβ=× =

==

（別の証明）
「　２次方程式を f(x)=ax2+bx+c=0 ( a≠0 ) とおくと，x=α,β はこの方程式の解だから，f(α)=f(β)=0
　したがって，f(x) は x−α 及び x−β を因数にもつ（これらで割り切れる．x−α 及び x−β で割り切れるとき，(x−α)(x−β) で割り切れることは，別途証明する必要があるが，因数定理を用いて因数分解するときには，黙って使うことが多い↓ ［重解の場合を除けば余りが0となることの証明は簡単］）．
　２次の係数を考えると，f(x)=a(x−α )(x−β) と書ける．すなわち，

ax2+bx+c=a(x−α )(x−β)

両辺を a ≠0 で割ると，

x2+x+=(x−α )(x−β)

右辺を展開すると

x2+x+=x2−(α+β) x+αβ

となるから，係数を比較して

α+β=−

αβ=

」

○　３次方程式の解と係数の関係

　３次方程式 ax3+bx2+cx+d=0 ( a≠0 ) の３つの解を α,β,γ とすると，

α+β+γ=−

αβ+βγ+γα=

αβγ=−

（証明）
　３次方程式を f(x)=ax3+bx2+cx+d=0 ( a≠0 ) とおくと，x=α,β,γ はこの方程式の解だから，f(α)=f(β)=f(γ)=0 　したがって，f(x) は x−α,x−β, x−γ を因数にもつ（これらで割り切れる．）
　３次の係数を考えると，f(x)=a(x−α )(x−β)(x−γ) と書ける．すなわち，ax3+bx2+cx+d=a(x−α )(x−β)(x−γ) 両辺を a ≠0 で割ると，

x3+x2+x+=(x−α )(x−β)(x−γ)

右辺を展開すると x3−(α+β+γ)x2+(αβ+βγ+γα)x−αβγ
となるから，係数を比較して

α+β+γ=−

αβ+βγ+γα=

αβγ=−

が成り立つ．

（参考）
　高校の教科書において２次方程式の解と係数の関係は，上記のように解の公式を用いて計算によって示される．この方法は
(1)直前に習う解の公式が，単純な数値計算だけでなく文字式の変形として証明にも使えるという例となっている．
(2)証明に無理がなく，ほぼすべての教科書で採用されているオーソドックスなものである．

　ただし，３次方程式の解と係数の関係　（高校の教科書には登場しないが，入試問題などでは普通に扱われているもの）は，この方法を延長しても証明できない･･･３次方程式の解の公式は高校では習わないから．

　そこで，因数定理：「整式 f(x) について，f(α)=0 が成り立つならば f(x) は x−α を因数にもつ．」を利用するのである．