行列の計算(まとめ１)

→ 携帯版は別頁 ■　行列の計算(まとめ) 【まとめ】 [行列の相等]・・・２つの行列が同じ型であって，かつ，対応する成分がそれぞれ等しいとき，これらの行列は等しいという。	【例】２×２行列の相等 $\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix}$ は，次の４つの方程式からなる連立方程式と同値 $a_{11}=b_{11}$ $a_{12}=b_{12}$ $a_{21}=b_{21}$ $a_{22}=b_{22}$
[行列の和]・・・２つの行列が同じ型であるとき，対応する成分の和を成分とする行列をそれらの行列の和という。	２×２行列の和 $\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} a_{11}+ b_{11} & a_{12}+ b_{12} \\ a_{21}+ b_{21} & a_{22}+ b_{22} \end{pmatrix}$
[行列の差]・・・２つの行列が同じ型であるとき，対応する成分の差を成分とする行列をそれらの行列の差という。	２×２行列の差 $\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} a_{11}- b_{11} & a_{12}- b_{12} \\ a_{21}- b_{21} & a_{22}- b_{22} \end{pmatrix}$
[行列の実数倍]・・・各成分に同じ値を掛けたもの。	２×２行列の実数倍 $k\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}ka_{11} & ka_{12} \\ ka_{21} & ka_{22} \end{pmatrix}$
[行列の積]・・・　型：L×M行列とM×N行列の積はL×N行列になる。　成分： p 行と q 列の内積が pq 成分になる。	２×２行列と２×２行列との積 $\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} a_{11} b_{11}+ a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12}+ a_{12}b_{22} \\ a_{21}b_{11}+ a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12}+ a_{22}b_{22} \end{pmatrix}$

■　問題　次の空欄を埋めなさい。 (1) $\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 3 & -4 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 4 & 8 \\ 10 & x \end{pmatrix}$ のとき $x=$ 採点するやり直す解説 (2,2)成分は−4+8=4になります	(2) $\begin{pmatrix} \sqrt{2}+ \sqrt{3} & 1+ \sqrt{2} \\ 1-\sqrt{3} & \sqrt{3}+ \sqrt{2} \end{pmatrix}$ $+ \begin{pmatrix} \sqrt{2}- \sqrt{3} & 1- \sqrt{2} \\ 1+ \sqrt{3} & \sqrt{3}- \sqrt{2} \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 2\sqrt{2} & y \\ 2 & 2\sqrt{3} \end{pmatrix}$ のとき $y=$ 採点するやり直す解説 (1,2)成分は $(1+ \sqrt{2})+ (1-\sqrt{2})=2$ になります
(3) $\begin{pmatrix} 5 & -6 \\ -7 & 8 \end{pmatrix}$ $- \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -3 & -4 \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 4 &-8 \\ -4 & z \end{pmatrix}$ のとき $z=$ 採点するやり直す解説	(4) $\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{3} \end{pmatrix}$ $- \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{1}{4} \\ -\frac{1}{4} & -\frac{1}{3} \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} \frac{1}{w} & 0 \\ \frac{1}{2} & \frac{2}{3} \end{pmatrix}$ のとき $w=$ 採点するやり直す解説 (1,1)成分は $\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$ になります
(5) $3\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a & 0 \\ 6 & -9 \end{pmatrix}$ のとき $a=$ 採点するやり直す解説 $3\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 6 & -9 \end{pmatrix}$ になります	(6) $\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} \sqrt{2} & -2 \\ 2 & -\sqrt{2} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & -\sqrt{2} \\ \sqrt{2} & b \end{pmatrix}$ のとき $b=$ 採点するやり直す解説 $\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} \sqrt{2} & -2 \\ 2 & -\sqrt{2} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & -\sqrt{2} \\ \sqrt{2} & -1 \end{pmatrix}$ になります
(7) $\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\ c \end{pmatrix}$ のとき $c=$ 採点するやり直す解説 $\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\ 10 \end{pmatrix}$ になります	(8) $\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} \sqrt{2} \\ \sqrt{2} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\ d\end{pmatrix}$ のとき $d=$ 採点するやり直す解説 $\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} \sqrt{2} \\ \sqrt{2} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix}$ になります
(9) $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ -6 & e \end{pmatrix}$ のとき $e=$ 採点するやり直す解説 $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ -6 & 7 \end{pmatrix}$ になります	(10) $\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}$ $= \begin{pmatrix}-\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \sqrt{f}\end{pmatrix}$ のとき $f=$ 採点するやり直す解説 $\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ $= \begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \sqrt{2} \end{pmatrix}$ になります
(11) $\begin{pmatrix} 1 & -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & g \end{pmatrix}$ のとき $g=$ 採点するやり直す解説 $\begin{pmatrix} 1 & -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & -2 \end{pmatrix}$ になります	(12) $\begin{pmatrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2& -1\\ 3& -1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0& \frac{1}{h}\end{pmatrix}$ のとき $h=$ 採点するやり直す解説 $\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{1}{3} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{6} \end{pmatrix}$ になります