最大値,最小値（数学Ⅱ/教科書レベル/楽しいワーク）

♣♥～教科書入門レベル/楽しいワーク～♠♪

　定義域a≦x≦bが与えられた関数f(x)の最大値，最小値の求め方
(1)　導関数を求め，増減表を作る
(2)　極値と区間の両端の値f(a), f(b)を比較して，の最大値，最小値を決める

問題1　y=2x2−4x−3（0≦x≦3）の最大値，最小値を求めてください

• 導関数を求める

y'=4x−4
=4(x−1)

• 0≦x≦3の区間で増減表を書く

x	0	···	1	···	3
y'		−	0	+
y	−3	$\searrow$	−5	$\nearrow$	3

【備考】
手元にある数学Ⅱの教科書（5社）に共通することとして
• 区間の端の値x=0, 3に対するxの値，yの値は「書く」
• 区間の端の値x=0, 3に対するy 'の値は「書かない」（空欄にする）

• 数学Ⅲでは，微分係数が定義されるかどうかということも詳しく習うので，上記の区間の端の値x=0, 3に対する
y 'の値は，定義されていないことを明示するために「 $\times$ 」または「／」と書くことが多い

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x=1のとき，最小値−5
x=3のとき，最大値3

（※x=0のとき，y=−3となる値は，最大でも最小でもないから，結果として答案には書かない）
（参考）グラフは次のようになる

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問題2　y=−2x3+6x+1（−2≦x≦2）の最大値，最小値を求めてください

• 導関数を求める

y'=−6x2+6
=−6(x+1)(x−1)

• −2≦x≦2の区間で増減表を書く

x	−2	···	−1	···	1	···	2
y'		−	0	+	0	−
y	5	$\searrow$	−3	$\nearrow$	5	$\searrow$	−3

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x=−1, 2のとき，最小値−3
x=−2, 1のとき，最大値5

最大値が２つ並んでいるときは，「日本タイ記録」「世界タイ記録」のような取扱いで，両方とも最大値とします．最小値も同様

（参考）グラフは次のようになる

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問題3　 $y=\frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{3}-x^2$ （−2≦x≦1）の最大値，最小値を求めてください

• 導関数を求める

y'=x3−x2−2x
=x(x+1)(x−2)

• 増減表を書いてから，定義域を切り出す

x	···	−2	···	−1	···	···	1	···	2	···
y'	−	−	−	0	+	−	−	−	0	+
y	$\searrow$	$\frac{8}{3}$	$\searrow$	$-\frac{5}{12}$	$\nearrow$	$\searrow$	$-\frac{13}{12}$	$\searrow$	$-\frac{8}{3}$	$\nearrow$

　例えば，表中のx=2の値は，定義域外だから不要ともいえるが，増減表の符号を埋めていく都合で，y'の符号が変わる値は書いておく方が安全
　また，表中のx=1の値は，極値でないが，最大，最小の候補となる端の値だから，書く方がよい
　表中のx=−2, 1に対するy'の値は，「定義域の端」だから微分係数は定義されない（空白欄にする）とも言えるが，上の表は増減表を書いてから，定義域を切り出したものなので，元の増減表の符号が残っている･･･これを咎とがめるようなセコイ採点はないと思う．
　もともと，定義域の端の値に対しては，右側微分係数，左側微分係数（数学Ⅲの内容）のいずれか一方しか定義されない．そこで，このような片側微分係数を，定義域の端の値に対する微分係数としてもよい． →解説を隠す←

x=−2のとき，最大値 $\frac{8}{3}$
x=1のとき，最小値 $-\frac{13}{12}$

（参考）グラフは次のようになる（赤枠の中が定義域）

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問題4　 $y=-\frac{x^4}{4}+\frac{2}{3}x^3+\frac{x^2}{2}-2x$ （0≦x≦2）の最大値，最小値を求めてください

• 導関数を求める

y'=−x3+2x2+x−2
=−(x−1)(x+1)(x−2)

• 増減表を書いてから，定義域を切り出す

x	···	−1	···	0	···	1	···	2	···
y'	+	0	−	−	−	0	+	0	−
y	$\nearrow$	$\frac{19}{12}$	$\searrow$	0	$\searrow$	$-\frac{13}{12}$	$\nearrow$	$-\frac{2}{3}$	$\searrow$

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x=0のとき，最大値0
x=1のとき，最小値 $-\frac{13}{12}$

（参考）グラフは次のようになる（赤枠の中が定義域）

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