合成関数の導関数

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*** 数学Ⅱ（多項式まで） ***

不定形の極限

微分係数

増減表

*** 高卒から大学初年度程度 ***

== 合成関数の導関数 ==

【公式】
(1)　合成関数y=f(g(x))の微分（導関数） $\frac{dy}{dx}$ は
y=f(u)
u=g(x)
とおくと
$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}$
で求められる．

(2)　合成関数y=f(g(x))の微分（導関数） $\frac{dy}{dx}$ は
$y\apos=f\apos (g(x))g\apos (x)$
で求められる．

※(1)(2)のどちらでもよい．各自の覚えやすい方，考えやすい方でやればよい．

（解説）
(1)←
　y=f(g(x))の微分（導関数） $y\apos$ あるいは $\frac{dy}{dx}$ は次の式で定義されます．
$\frac{dy}{dx}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$

Δx,Δuなどが有限の間は，かけ算，割り算は自由にできます。

微分可能な関数は連続なので，Δx→0のときΔｕ→0です。だから，

すなわち，（高校では，duで割ってかけるとは言わずに，自由にかけ算・割り算のできるΔuの段階で式を整えておくのがミソ）

＜まとめ1＞
合成関数は，「階段を作る」
・・・安全確実　Step by Step

例
y=(x2−3x+4)4の導関数を求めなさい。

[答案例]
　この関数は，
y=u4
u=x2−3x+4
が合成されているものと考えることができます。
y=u4=(x2−3x+4)4

$\frac{dy}{du}=4u^3$
$\frac{du}{dx}=2x-3$
だから
$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}=4u^3(2x-3)$
答をxの関数に直すと
$\frac{dy}{dx}=4(x^2-3x+ 4)^3(2x-3)$

(2)←
　上の公式は次のようにまとめることもできます：
y=f(g(x))
のとき
y=f(u)
u=g(x)

y'=f '(u)g'(x)
ゆえに
y'=f '(g(x))g'(x)

＜まとめ２＞

例
y=(x2−3x+4)4の導関数を求めなさい。

[答案例]
y=f(u)=u4
u=g(x)=x2−3x+4
のとき
f '(u)=4u3
g'(x)=2x−3
だから
y'=f '(g(x))g'(x)=4(x2−3x+4)3(2x−3)

　３つの関数が合成されているときは，次の公式になります．
＜1＞

＜2＞

[問題]　次の各関数の導関数を求めなさい。

○初めに関数を選び，続いて下の選択肢から導関数を選びなさい。正しく対応していれば消えます。
○間違った場合に選択肢を連打することはできません。
○間違った場合は，解説を読むことができますが，解説を読む場合でも読まない場合でも，新たに問題を選べば解答を再開できます。

- - - ［関数］ - - -

- - - ［導関数：選択肢］ - - -

解説

(3)無理関数，(4)三角関数，(5)指数関数，(6)対数関数を含む場合の合成関数微分法

　教科書などの教材の並びとしては，(1)多項式，(2)分数関数の微分→合成関数，陰関数の微分→(3)無理関数，(4)三角関数，(5)指数関数，(6)対数関数の微分の順に並ぶことが多い．
　この教材も，ほぼこの順序を前提としたので，ここまでの演習では，合成関数の微分法として多項式と分数関数が合成されている場合だけを取り上げた．
　しかし，何らかの都合で合成関数の微分法を調べている場合や，復習している場合には，その前提はないから，無理関数，三角関数，指数関数，対数関数を含む場合の合成関数微分法が必要になることが多い．以下においては，この場合を取り上げる．したがって，以下においては，無理関数，三角関数，指数関数，対数関数の微分法を既知として扱う．（各々の途中経過を示すが，まだ習っていない場合…教科書順に学んでいる場合…は読みとばしてもよい）

(3)無理関数と(1)多項式が合成されているもの

【例題3.1】
　 $x$ の関数 $y=\sqrt[3]{x^2+ x+ 1}$ を微分してください．

解説を読む

$y=\sqrt[3]{t}=t^{\frac{1}{3}}$

$t=x^2+ x+ 1$

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot\frac{dt}{dx}$
$=\frac{1}{3}t^{-\frac{2}{3}}\cdot(2x+ 1)$
$=\frac{2x+ 1}{3\sqrt[3]{(x^2+ x+ 1)^2}}$ …（答）

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(3)無理関数と(2)分数関数が合成されているもの

【例題3.2】
　 $x$ の関数 $y=\sqrt{\frac{x-1}{x+ 1}}$ を微分してください．

解説を読む

$y=\sqrt{t}=t^{\frac{1}{2}}$

$t=\frac{x-1}{x+ 1}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot\frac{dt}{dx}$
$=\frac{1}{2}t^{-\frac{1}{2}}\cdot\frac{(x+ 1)-(x-1)}{(x+ 1)^2}$
$=\frac{1}{2}t^{-\frac{1}{2}}\cdot\frac{2}{(x+ 1)^2}$
$=\sqrt{\frac{x+ 1}{x-1}}\cdot\frac{1}{(x+ 1)^2}$
$=\frac{1}{\sqrt{(x+ 1)^3(x-1)}}$ …（答）

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(3)無理関数と(4)三角関数が合成されているもの

【例題3.4】
　 $x$ の関数 $y=\sqrt{1-\sin 2x}$ を微分してください．

解説を読む

$y=\sqrt{t}=t^{\frac{1}{2}}$
$t=1-\sin u$

$u=2x$

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot\frac{dt}{du}\cdot\frac{du}{dx}$
$=\frac{1}{2}t^{-\frac{1}{2}}\cdot(-\cos u)\cdot2$
$=-\frac{\cos 2x}{\sqrt{1-\sin 2x}}$ …（答）

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(3)無理関数と(5)指数関数が合成されているもの

【例題3.5】
　 $x$ の関数 $y=\sqrt{e^{2x}+ 1}$ を微分してください．

解説を読む

$y=\sqrt{t}=t^{\frac{1}{2}}$

$t=e^{2x}+ 1$

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot\frac{dt}{dx}$
$=\frac{1}{2}t^{-\frac{1}{2}}\cdot 2e^{2x}$
$=\frac{e^{2x}}{\sqrt{e^{2x}+ 1}$ …（答）

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(3)無理関数と(6)対数関数が合成されているもの

【例題3.6】
　 $x$ の関数 $y=\log (x+\sqrt{x^2+ 1})$ を微分してください．

解説を読む

$y=\log t$

$t=x+\sqrt{x^2+ 1}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot\frac{dt}{dx}$
$=\frac{1}{t}\cdot(1+\frac{1}{2}(x^2+ 1)^{-\frac{1}{2}}\times 2x)$
$=\frac{1}{t}\cdot(1+\frac{x}{\sqrt{x^2+ 1}})$
$=\frac{1}{x+\sqrt{x^2+ 1}}\cdot\frac{x+\sqrt{x^2+ 1}}{\sqrt{x^2+ 1}}$
$=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+ 1}$ …（答）

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(4)三角関数と(1)多項式が合成されているもの

【例題4.1】
　 $x$ の関数 $y=\cos (x^2+ 1)$ を微分してください．

解説を読む

$y=\cos t$

$t=x^2+ 1$

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot\frac{dt}{dx}$
$=-\sin t\times 2x$
$=-2x\sin(x^2+ 1)$ …（答）

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(4)三角関数と(2)分数関数が合成されているもの

【例題4.2】
　 $x$ の関数 $y=\sin (x-\frac{1}{x})$ を微分してください．

解説を読む

$y=\sin t$

$t=x-\frac{1}{x}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot\frac{dt}{dx}$
$=\cos t\times (1+ \frac{1}{x^2})$
$=\frac{x^2+ 1}{x^2}\cos(x-\frac{1}{x})$ …（答）

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(4)三角関数と(5)指数関数が合成されているもの

【例題4.5】
　 $x$ の関数 $y=e^{\sin x}$ を微分してください．

解説を読む

$y=e^t$

$t=\sin x$

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot\frac{dt}{dx}$
$=e^t\cos x$
$=e^{\sin x}\cos x$ …（答）

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(4)三角関数と(6)対数関数が合成されているもの

【例題4.6】
　 $x$ の関数 $y=\log (\sin x)$ を微分してください．

解説を読む

$y=\log t$

$t=\sin x$

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot\frac{dt}{dx}$
$=\frac{1}{t}\cos x$
$=\frac{\cos x}{\sin x}$ …（答）
この関数は $\cot x$ と書かれることが多い

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(5)指数関数と(1)多項式が合成されているもの

【例題5.1】
　 $x$ の関数 $y=e^{x^2+ 1}$ を微分してください．

解説を読む

$y=e^t$

$t=x^2+ 1$

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot\frac{dt}{dx}$
$=e^t(2x)=2xe^{x^2+ 1}$ …（答）

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(5)指数関数と(2)分数関数が合成されているもの

【例題5.2】
　 $x$ の関数 $y=\frac{e^x-1}{e^x+ 1}$ を微分してください．

解説を読む

$y=\frac{t-1}{t+ 1}$

$t=e^x$

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot\frac{dt}{dx}$
$=\frac{(t+ 1)-(t-1)}{(t+ 1)^2}\cdot e^x$
$=\frac{2}{(t+ 1)^2}\cdot e^x=\frac{2e^x}{(e^x+ 1)^2}$ …（答）

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(5)指数関数と(6)対数関数が合成されているもの

【例題5.6】
　 $x$ の関数 $y=\log (e^{2x}+ 1)$ を微分してください．

解説を読む

$y=\log t$

$t=e^{2x}+ 1$

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot\frac{dt}{dx}$
$=\frac{1}{t}\cdot 2e^{2x}$
$=\frac{2e^{2x}}{e^{2x}+ 1}$ …（答）

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(6)対数関数と(1)多項式が合成されているもの

【例題6.1】
　 $x$ の関数 $y=\log (x^{2}-x+ 1)$ を微分してください．

解説を読む

$y=\log t$

$t=x^{2}-x+ 1$

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot\frac{dt}{dx}$
$=\frac{1}{t}\cdot (2x-1)$
$=\frac{2x-1}{x^{2}-x+ 1}$ …（答）

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(6)対数関数と(2)分数関数が合成されているもの

【例題6.2】
　 $x$ の関数 $y=\frac{\log x-1}{\log x+ 1}$ を微分してください．

解説を読む

$y=\frac{t-1}{t+ 1}$

$t=\log x$

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot\frac{dt}{dx}$
$=\frac{(t+ 1)-(t-1)}{(t+ 1)^2}\cdot\frac{1}{x}$
$=\frac{2}{(t+ 1)^2}\cdot\frac{1}{x}$
$=\frac{2}{x(\log x+ 1)^2}$ …（答）

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