整数問題（センター試験:2015～）

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== 整数問題（センター試験:2015～） ==

【2015年度センター試験.数学Ⅰ･数学A】第5問 [選択問題]

　以下では，a=756とし，mは自然数とする。
(1)　aを素因数分解すると

a=2ア·3イ·ウ

である。
　aの約数の個数はエオ個である。

(2)　 $\sqrt{am}$ が自然数となる最小の自然数mはカキである。 $\sqrt{am}$ が自然数となるとき，mはある自然数kにより，m=カキk2と表される数であり，そのときの $\sqrt{am}$ の値はクケコkである。

［解答を見る］

756=22·33·7→アイウ

【約数の個数】---前もって覚えておくべきこと
p, q, r, ...を素数とし，a, b, c, ...≧0を整数とするとき，N=pa·qb·rc...の正の約数の個数は，
(a+1)(b+1)(c+1)...

　756=22·33·7に上記の公式を当てはめると，約数の個数は，(2+1)(3+1)(1+1)=24個→エオ
(2)
$2^2\times 3^3\times 7\times m$ がある自然数の2乗になるには
$m=3\times 7=21$ →カキ
このとき
$\sqrt{am}=\sqrt{2^2\times 3^3\times 7\times 3\times 7\times k^2}=2\times 9\times 7\times k$
$=126k$ →クケコ
→解答を隠す←

(3)　次に，自然数kによりクケコkと表される数で，11で割った余りが1となる最小のkを求める。1次不定方程式
クケコk−11ℓ=1
を解くと，k>0となる整数解(k, ℓ)のうちkが最小のものは，k=サ, ℓ=シスセである。

(4)　 $\sqrt{am}$ が11で割ると1余る自然数となるとき，そのような自然数mのなかで最小のものはソタチツである。

［解答を見る］

$126k=11l+ 1$
$11l=126k-1$
$l=\frac{126k-1}{11}=11k+\frac{5k-1}{11}$
ℓは整数だから， $5k-1=11m$ （mは整数）とおける
$k=\frac{11m+ 1}{5}=2m+\frac{m+ 1}{5}$
kは整数だから， $m + 1=5n$ （nは整数）とおける
　以上をまとめると

k=2(5n−1)+n=11n−2
ℓ=11(11n−2)+(5n−1)=126n−23
（nは整数）

(3)
126k−11ℓ=1
となる整数解(k, ℓ)を求める．
　右の計算から，k>0となる最小の整数は，k=9（n=1のとき）
　このとき，ℓ=103
→サ，シスセ
(4)
　上記の結果から，
k=9のとき，m=21k2=21× 81=1701→ソタチツ →解答を隠す←

【2016年度センター試験.数学Ⅰ･数学A】第4問 [選択問題]

(1)　不定方程式
92x+197y=1
を満たす整数x, yの組の中で，xの絶対値が最小のものは
x=アイ，y=ウエ
である。不定方程式
92x+197y=10
を満たす整数x, yの組の中で，xの絶対値が最小のものは
x=オカキ，y=クケ
である。

［解答を見る］

(1)
xについて解くと
$x=\frac{1-197y}{92}=-2y+\frac{1-13y}{92}$
xは整数だから
$1-13y=92m$ とおける（mは整数）
これをyについて解くと
$y=\frac{1-92m}{13}=-7m+\frac{1-m}{13}$
yは整数だから
$1-m=13n$ とおける（nは整数）
　以上から

m=1−13n
y=−7(1−13n)+n=92n−7
x=−2(92n−7)+(1−13n)=15−197n
（nは整数）

n	･･･	−1	0	1	･･･
x	･･･	212	15	−182	･･･

　表により，n=0のとき，x=15→アイ
y=−7→ウエ

　上記の結果から
92×15+197×(−7)=1
両辺を10倍すると
92×150+197×(−70)=10･･･(#1)
(#1)は，x=150, y=−70が，不定方程式
92x+197y=10･･･(#2)
の1つの解であることを示している．
(#2)式，(#1)式を辺々引くと
92(x−150)=197(−y−70)･･･(#3)
92=22× 23，197は素数だから，(#3)より

x−150=197t
−y−70=92t
（tは整数）
x−150=197t
x=197t+150
x=−47, 150, ...
−y−70=92t
y=−92t−70
y=22, −70, ...
結局，xの絶対値が最小のものは
x=−47→オカキ
このとき（t=−1のとき）
y=22→クケ
→解答を隠す←

【2017年度センター試験.数学Ⅰ･数学A】第4問 [選択問題]

(1)　百の位の数が3，十の位の数が7，一の位の数がaである3桁の自然数を37aと表記する。
　37aが4で割り切れるのは

a=ア，イ

のときである。ただし，ア，イの解答の順序は問わない。

［解答を見る］

(1)
370=4×92+2だから
370+a=4×92+2+a (0≦a≦9)が4で割り切れるのは
2+a=4, 8 (2≦2+a≦11)のとき
すなわち，a=2, 6→アイ
→解答を隠す←

(2)　千の位の数が7，百の位の数がb，十の位の数が5，一の位の数がcである4桁の自然数を7b5cと表記する。
　7b5cが4でも9でも割り切れるb, cの組は，全部でウ個ある。これらのうち，7b5cの値が最小になるのはb=エ，c=オのときで，7b5cの値が最大になるのはb=カ，c=キのときである。
　また，7b5c=(6×n)2となるb, cと自然数nは

b=ク，c=ケ，n=コサ

である。

［解答を見る］

(2)
　100は4で割り切れるから，7b00は4で割り切れる．そこで，7b5cが4で割り切れるには
50+c (0≦c≦9)
が4で割り切れればよい．
c=2, 6
　次に，7b5cが9で割り切れるには，各位の数の和が9で割り切れることが必要十分条件になる．

（証明）
　4桁の整数N=abcd=1000a+100b+10c+dが9で割り切れるには，
1000a+100b+10c+d
=(999a+99b+9c)+(a+b+c+d)
=9(111a+11b+c)+a+b+c+d
であるから
Nが9で割り切れる ⇔ a+b+c+dが9で割り切れる

ア） 7b52が9で割り切れるには
7+b+5+2=14+b=9n (0≦b≦9)
より，b=4
イ） 7b56が9で割り切れるには
7+b+5+6=18+b=9n (0≦b≦9)
より，b=0, 9
　したがって，4でも9でも割り切れる(b, c)の組は，全部で(4, 2), (0, 6), (9, 6)の3個→ウ
　このうち，7b56が最小になるのは，b=0, c=6のとき→エオ
7b56が最大になるのは，b=9, c=6のとき→カキ
　また，7b5c=(6×n)2となるものを調べると
7056=62×142→適する
7956=62×13×17→適さない
7452=62×9×23→適さない
　したがって，b=0, c=6, n=14のとき→ク，ケ，コサ
→解答を隠す←

【2018年度センター試験.数学Ⅰ･数学A】第4問 [選択問題]

(1)　144を素因数分解すると

144=2ア×イウ

であり，144の正の約数の個数はエオ個である。

［解答を見る］

(1)
144=24×32→アイウ
その約数の個数は
(4+1)×(2+1)=15個→エオ →解答を隠す←

(2)　不定方程式

144x−7y=1

の整数解x, yの中で，xの絶対値が最小になるのは

x=カ，y=キク

であり，すべての整数解は，kを整数として

x=ケk+カ，y=コサシk+キク

と表される。

［解答を見る］

(2)
$144x-7y=1$ を $y$ について解くと
$y=\frac{1444-1}{7}=20x+\frac{4x-1}{7}$
$y$ は整数だから
$4x-1=7m$ （ $m$ は整数）
さらに，この式を $x$ について解くと
$x=\frac{7m+ 1}{4}=m+\frac{3m+ 1}{4}$ （ $m$ は整数）
$x$ は整数だから
$3m+ 1=4n$ （ $n$ は整数）
さらに，この式を $m$ について解くと
$m=\frac{4n-1}{3}=n+\frac{n-1}{3}$
$m$ は整数だから
$n-1=3k$ （ $k$ は整数）
以上をまとめると，整数 $x,y,m,n$ は，整数 $k$ を用いて，次のように表される．

$n=3k+ 1$
$m=(3k+ 1)+ k=4k+ 1$
$x=(4k+ 1)+ (3k+ 1)=7k+ 2$
$y=20(7k+ 2)+ (4k+ 1)=144k+ 41$
xの絶対値が最小になるとき，次の表より，

k	･･･	−2	−1	0	1	2	･･･
x	･･･	−12	−5	2	9	16	･･･
y	･･･	−247	−103	41	185	329	･･･

x=2, y=41→カ，キク
また，すべての整数解は，kを整数として
x=7k+2, y=144k+41→ケ，コサシ
と表される。 →解答を隠す←

(3)　144の倍数で，7で割ったら余りが1となる自然数のうち，正の約数の個数が18個である最小のものは144×スであり，正の約数の個数が30個である最小のものは144×セソである。

［解答を見る］

(3)
　144x=24×32×(7k+2)（kは整数）
の約数の個数が18個となるのは，7k+2=2のとき

25×32の約数の個数は，6×3=18個
また，7k+2の値で，これよりも小さな正の整数はない

144×2→ス
　次に，kの値と7k+2 (>0), 144xおよびその正の約数の個数は，次の表のようになる.

k	7k+2	144x	約数の個数
0	2	25×32	6×3=18個
1	9	24×34	5×5=25個
2	16	28×32	9×3=27個
3	23	24×32×23	5×3×2=30個

したがって，正の約数の個数が30個である最小のものは，144×23→セソ →解答を隠す←

【2019年度センター試験.数学Ⅰ･数学A】第4問 [選択問題]

(1)　不定方程式

49x−23y=1

の解となる自然数x, yの中で，xの値が最小のものは

x=ア，y=イウ

であり，すべての整数解は，kを整数として

x=エオk+ア，y=カキk+イウ

と表せる。

［解答を見る］

(1)
49x−23y=1をyについて解くと
$y=\frac{49x-1}{23}=2x+\frac{3x-1}{23}$
yは整数だから
3x−1=23m（mは整数）
さらに，これをxについて解くと
$x=\frac{23m+ 1}{3}=7m+\frac{2m+ 1}{3}$
xは整数だから
2m+1=3n（nは整数）
さらに，これをmについて解くと
$m=\frac{3n-1}{2}=n+\frac{n-1}{2}$
mは整数だから
n−1=2k（kは整数）
　以上をまとめると，n,m,x,yは整数kを用いて，次のように表せる．

n=2k+1
m=(2k+1)+k=3k+1
x=7(3k+1)+(2k+1)=23k+8
y=2(23k+8)+(3k+1)=49k+17
　ここで，x,y>0だからk≧0
xが最小となるのは，k=0のとき
x=8, y=17→ア，イウ
すべての整数解は
x=23k+8, y=19k+17→エオ，カキ
→解答を隠す←

(2)　49の倍数である自然数Aと23の倍数である自然数Bの組(A, B)を考える。AとBの差の絶対値が1となる組(A, B)の中で，Aが最小になるのは

(A, B)=(49×ク，23×ケコ)

である。また，AとBの差の絶対値が2となる組(A, B)の中で，Aが最小になるのは

(A, B)=(49×サ，23×シス)

である。

［解答を見る］

(2)
(1)の結果から
A−B=49x−23y=1となる組(A, B)の中で，Aが最小になるのは
A=49×8, B=23×17･･･(#1)
　また，A−B=49x−23y=−1となる自然数の組(A, B)は

x=−23k−8（k≦−1）
y=−19k−17（k≦−1）
　Aが最小になるのは
A=49×15, B=23×2･･･(#2)
(#1)(#2)を比較すると，(#1)の方でAが最小になる

(A, B)=(49×8，23×17)→ク，ケコ

A−B=49x−23y=2となる組(A, B)は

A=49x=49×(23k+16)（k≧0）
B=23y=23×(49k+34)（k≧0）
Aが最小になるのは
A=49×16, B=23×34･･･(#3)
　また，A−B=49x−23y=−2となる自然数の組(A, B)は

A=49x=49×(−23k−16)（k≦−1）
B=23y=23×(−49k−34)（k≦−1）
Aが最小になるのは
A=49×7, B=23×15･･･(#4)
(#3)(#4)を比較すると，(#4)の方でAが最小になる
A=49×7, B=23×15→サ，シス
→解答を隠す←

(3)　連続する三つの自然数a, a+1, a+2を考える。

aとa+1の最大公約数は1
a+1とa+2の最大公約数は1
aとa+2の最大公約数は1またはセ

である。
　また，次の条件がすべての自然数aで成り立つような自然数mのうち，最大のものはm=ソである。

条件：a(a+1)(a+2)はmの倍数である。

(4)　6762を素因数分解すると

6762=2×タ×7チ×ツテ

である。

　bをb(b+1)(b+2)が6762の倍数となる最小の自然数とする。このとき，b, b+1, b+2のいずれかは7チの倍数であり，また，b, b+1, b+2のいずれかはツテの倍数である。したがって，b=トナニである。

［解答を見る］

(3)
m=2→セ（明らか）
m=6→ソ（連続3整数の積は3!=6の倍数）
(4)
6762=2×3×72×23→タ，チ，ツテ
，b, b+1, b+2のいずれかは72の倍数であり，また，b, b+1, b+2のいずれかは23の倍数である。（b, b+1, b+2がどんな自然数であっても，2×3=6の倍数にはなる）
ア） bが72の倍数であり，かつ，23の倍数であるとき
b=49×23=1127
b+1=49×23=1127ならばb=1126
b+2=49×23=1127ならばb=1125
イ） b, b+1またはb+1, b+2の隣り合う２つの数が72と23の倍数であるとき
(2)の結果から，b+2=49×8, b+1=23×17のとき，bが最小となる･･･b=340
ウ） b, b+2の２つの数が72と23の倍数であるとき，(2)サシスの結果から
b=49×7, b+2=23×15のとき，bが最小となる･･･b=343
以上から，b=343のとき最小→トナニ →解答を隠す←

【2020年度センター試験.数学Ⅰ･数学A】第4問 [選択問題]

(1)　xを循環小数2.••36とする。すなわち

$x=2.363636\hspace{1}\cdot\cdot\cdot$

とする。このとき

$100\times x-x=$ 236.••36−2.••36

であるから，xを分数で表すと

x=

アイ

ウエ

である。
(2)　有理数yは，7進法で表すと，二つの数字の並びabが繰り返し現れる循環小数2.••ab(7)になるとする。ただし，a, bは0以上6以下の異なる整数である。このとき

$49\times y-y=$ 2ab.••ab(7)−2.••ab(7)

であるから

y=

オカ+7×a+b

キク

と表せる。

［解答を見る］

(1)
$99x=234$
$x=\frac{234}{99}=\frac{26}{11}$ →アイ，ウエ
(2)
$48y=2\times 49+ 7a+ b-2$
$y=\frac{96+ 7a+ b}{48}$ →オカ，キク
→解答を隠す←

(i)　yが，分子が奇数で分母が4である分数で表されるのは

y=

ケ

4

またはy=

コサ

4

のときである。y=

コサ

4

のときは，7×a+b=シス

であるから

a=セ，b=ソ

である。
(ii)　y−2は，分子が1で分母が2以上の整数である分数で表されるとする。このようなyの個数は，全部でタ個である。

［解答を見る］

(i)
$y=\frac{96+ 7a+ b}{48}$
が，分子が奇数で分母が4である分数で表されるのは，分子が12で割り切れる（12よりも大きい整数では割り切れない）とき
96+7a+b=12s（sは整数）
7a+b=12t（tは整数）･･･(#1)
(#1)において，0≦a, b≦6, a≠bだから
1) a=0, b=0→a=bだから不適
2) a=1, b=5→適する
3) a=2, b=10→b>6だから不適
4) a=3, b=3→a=bだから不適
5) a=4, b=8→b>6だから不適
6) a=5, b=1→適する
7) a=6, b=6→a=bだから不適
以上から
$y=\frac{132}{48}=\frac{11}{4}$ →コサ
$y=\frac{108}{48}=\frac{9}{4}$ →ケ

$y=\frac{132}{48}=\frac{11}{4}$ のときは，7a+b=36であるから
a=5, b=1→セ，ソ

$y-2=\frac{7a+ b}{48}$
が，分子が1で分母が2以上の整数である分数で表されるには，
分子が
7a+b=1, 2, 3, 4, 6,8, 12, 16, 24, (48)
(a, b)は
(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(0,6),(1,1),(1,5),(2,2),(3,3)
全部で6個→タ
→解答を隠す←

【2022年度共通テスト.数学Ⅰ･数学A】第4問 [選択問題]

(1)　54=625を24で割ったときの余りは1に等しい。このことを用いると，不定方程式

54x−24y=1　･･･①

の整数解のうち，xが正の整数で最小になるのは

x=ア，y=イウ

であることがわかる。
　また，①の整数解のうち，xが2桁の正の整数で最小になるのは

x=エオ，y=カキク

である。

［解答を見る］

(1)
625=16×39+1
すなわち
54=24×39+1
54×1−24×39=1
だから，x=1, y=39→ア，イウ

54x−24y=1
− ) 54×1−24×39=1
54(x−1)−24(y−39)=0
54(x−1)=24(y−39)
54, 24は互いに素だから
x−1=24t
x=24t+1（tは整数）
同様にして
y=54t+39（tは整数）
xが2桁の正の整数で最小になるのは，t=1のとき．このとき
x=17, y=664→エオ，カキク
→解答を隠す←

(2)　次に，6252を55で割ったときの余りと，25で割ったときの余りについて考えてみよう。
　まず，

6252=5ケ

であり，また，m=イウとすると

6252=2ケm2+2コm+1

である。これらより，6252を55で割ったときの余りと，25で割ったときの余りがわかる。

［解答を見る］

(2)
6252=(54)2=58→ケ
54=24×m+1だから
58=(24×m+1)2
=28×m2+2×24m+1
=28×m2+25m+1→ケ，コ
→解答を隠す←

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