テイラー級数，マクローリン級数

== テイラー級数，マクローリン級数 ==
≪このページ内の目次≫

1.1　微分可能とは
1.2　微分可能と連続
1.3　導関数
1.4　高階導関数
1.5　連続微分可能，Cⁿ級，C^∞級

1.1　微分可能とは

　関数 $f(x)$ について，極限値
$\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$
もしくは
$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+ h)-f(a)}{h}$
が存在するとき， $f(x)$ は $x=a$ で微分可能といい，この極限値を $f(x)$ の $x=a$ における微分係数といい， $f\apos(a)$ で表す．

【例1.1.1】
$f(x)=x^2$ の $x=1$ における微分係数は
$f\apos(1)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{(1+ h)^2-1^2}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{2h+ h^2}{h}$
$=\lim_{h\rightarrow 0}(2+ h)=2$
【例1.1.2】
$f(x)=\mid x\mid$ について

ア） $x\gt 0$ のとき
$\lim_{x\rightarrow + 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim_{x\rightarrow+ 0}\frac{x}{x}=1$

イ） $x\lt 0$ のとき
$\lim_{x\rightarrow -0}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim_{x\rightarrow -0}\frac{-x}{x}=-1$

ア）で求めた右側微分係数とイ）で求めた左側微分係数が一致しないから，微分係数
$f\apos(0)=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$
は存在しない．したがって，この関数 $f(x)=\mid x\mid$ は $x=0$ において微分可能ではない．

1.2　微分可能と連続

　関数 $f(x)$ が $x=a$ において微分可能ならば， $f(x)$ は $x=a$ で連続である．

［微分可能の定義］（上記の再掲)
$\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$
が存在すること

［連続の定義］
$f(a),\hspace{3}\lim_{x\rightarrow a}f(x)$ が存在し，それらが等しいこと，すなわち
$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$
が成り立つとき， $f(x)$ は $x=a$ において連続であるという．

（証明）
関数 $f(x)$ が $x=a$ において微分可能ならば，
$f\apos(a)=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$
とおけるから
$\lim_{x\rightarrow a}\{f(x)-f(a)\}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\cdot(x-a)$
$=f\apos(a)\cdot 0=0$
したがって
$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$
が成り立つから，連続になる（証明終わり）

（重要）
　「微分可能」ならば「連続」はいえますが，「連続」だからといって必ずしも「微分可能」とは限らない，すなわち

微分可能 $\overset{\overset{\circ}{\Longrightarrow}}{\overset{\Longleftarrow}{\times}}$ 連続

　もっと通俗的に言えば

微分可能	連続	不連続
つるつる上記の【例1.1.1】	つながっている上記の【例1.1.2】	つながっていない

1.3　導関数

　関数 $f(x)$ がある区間で微分可能であるとき，その区間の $x$ の値 $a$ に微分係数 $f\apos(a)$ を対応させる関数を， $f(x)$ の導関数といい， $f\apos(x)$ で表す．
　関数 $f(x)$ から導関数 $f\apos(x)$ を求めることを， $f(x)$ を微分するという．
　 $f(x)$ の導関数 $f\apos(x)$ は，次の式で求められる．
$f\apos(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+ h)-f(x)}{h}$
　 $x$ の増分を $\Delta x$ で表し，対応する $y$ の増分を $\Delta y$ で表すと，次のように書くこともできる．
$f\apos(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$
　関数 $y=f(x)$ の導関数は，次のような記号で表される．
$y\apos\hspace{2},\hspace{20}f\apos(x)\hspace{2},\hspace{20}\frac{dy}{dx}\hspace{2},\hspace{20}\frac{d}{dx}f(x)$

1.4　高階導関数

　導関数 $f\apos(x)$ がさらに微分可能であるとき， $f\apos(x)$ の導関数を $f(x)$ の第2次導関数（2階導関数）といい，
$y\apos\apos\hspace{2},\hspace{20}f\apos\apos(x)\hspace{2},\hspace{20}\frac{d^2y}{dx^2}\hspace{2},\hspace{20}\frac{d^2}{dx^2}f(x)$
などの記号で表される．
$f\apos\apos(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\apos(x+ h)-f\apos(x)}{h}$
　一般に，関数 $y=f(x)$ を $n$ 回（ $n$ は正の整数とする）微分して得られる関数を， $y=f(x)$ の第 n次導関数（n階導関数）といい
$y^{(n)}\hspace{2},\hspace{20}f^{(n)}(x)\hspace{2},\hspace{20}\frac{d^ny}{dx^n}\hspace{2},\hspace{20}\frac{d^n}{dx^n}f(x)$
などの記号で表される．
　第2次以上の導関数を高次導関数（高階導関数）という．

【例1.4.1】　次の関数の第n次導関数（n階導関数）を求めてください．（ただし，nは正の整数とする）
$f_1(x)=x^m$ （mは正の整数）

（解答）
$f_1\apos(x)=mx^{m-1}$
$f_1\apos\apos(x)=m(m-1)x^{m-2}$

･･･

ア） $n\lt m$ のとき
$f_1^{(n)}(x)=m(m-1)\cdot\cdot\cdot(m-n-1)x^{m-n}$
イ） $n=m$ のとき
$f_1^{(n)}(x)=m!$
ウ） $n\gt m$ のとき
$f_1^{(n)}(x)=0$

【例1.4.2】　次の関数の第n次導関数（n階導関数）を求めてください．（ただし，nは正の整数とする）
(1) $f_2(x)=e^x$
(2) $f_3(x)=\alpha^{x}$ （ $\alpha$ は正の実数）

（解答）
(1) $f_2\apos(x)=e^{x}$
$f_2\apos\apos(x)=e^x$
$f_2^{(n)}(x)=e^{x}$
(2) $f_3(x)=a^{x}=e^{(\log a)x}$ だから
$f_3\apos(x)=(\log a)e^{(\log a)x}=(\log a)a^x$
$f_3\apos\apos(x)=(\log a)^2e^{(\log a)x}=(\log a)^2a^x$
$f_3^{(n)}(x)=(\log a)^ne^{(\log a)x}=(\log a)^na^x$

♪～ルンうまい話♪～ルンは，何度でも使おう～
$e^{x}$ $\rightarrow$ 何回微分しても同じ形(金太郎飴,鳴門巻き)
$a^{x}$ $\rightarrow$ $\log a$ を掛けたら微分になる

【例1.4.3】　次の関数の第n次導関数（n階導関数）を求めてください．（ただし，nは正の整数とする）
(1) $f_4(x)=\log x\hspace{5}(x\gt 0)$
(2) $f_5(x)=\sqrt{x}\hspace{5}(x\gt 0)$

（解答）
(1) $f_4\apos(x)=\frac{1}{x}=x^{-1}$
$f_4\apos\apos(x)=(-1)x^{-2}=-\frac{1}{x^2}$
$f_4^{(3)}(x)=(-1)(-2)x^{-3}=\frac{2}{x^3}$
$f_4^{(n)}(x)=(n-1)!(-1)^{n-1}x^{-n}=\frac{(n-1)!(-1)^{n-1}}{x^n}$
(2) $f_5(x)=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$
$f_5\apos(x)=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$
$f_5\apos\apos(x)=\frac{1}{2}\cdot(-\frac{1}{2})x^{-\frac{3}{2}}=-\frac{1}{4x\sqrt{x}}$
$f_5^{(3)}(x)=\frac{1}{2}\cdot(-\frac{1}{2})\cdot(-\frac{3}{2})x^{-\frac{5}{2}}=\frac{3!!(-1)^{3-1}}{2^3}\cdot\frac{1}{x^{3-1}\sqrt{x}}$

二重階乗の記号 $n!!$ は，階乗の階乗 $(n!)!$ を表すのではなく，
ア） $n$ が偶数なら，2までの偶数だけを掛けたものを表す．
$4!!=4\cdot 2=8,\hspace{10}6!!=6\cdot 4\cdot 2=48,\hspace{10}\cdots$
イ） $n$ が奇数なら，1までの奇数だけを掛けたものを表す．
$3!!=3\cdot 1=3,\hspace{10}5!!=5\cdot 3\cdot 1=15,\hspace{10}\cdots$
※この問題では，奇数の二重階乗だけが登場する

$f_5^{(n)}(x)=\frac{(2n-3)!!(-1)^{n-1}}{2^n}\cdot\frac{1}{x^{n-1}\sqrt{x}}$

【例1.4.4】　次の関数の第n次導関数（n階導関数）を求めてください．（ただし，nは正の整数とする）
(1) $f_6(x)=\sin x$
(2) $f_7(x)=\cos x$

（解答）

(1) $f_6\apos(x)=\cos x=\sin(x+\frac{\pi}{2})$
$f_6\apos\apos(x)=-\sin x=\sin(x+\frac{2\pi}{2})$
$f_6^{(3)}(x)=-\cos x=\sin(x+\frac{3\pi}{2})$
$f_6^{(4)}(x)=\sin x=\sin(x+\frac{4\pi}{2})$
これらは，次のようにまとめることができる
$f_6^{(n)}(x)=\sin(x+\frac{n\pi}{2})$

すなわち，正弦関数は位相を $\frac{\pi}{2}$ 進めると微分になる．（位相を $\frac{\pi}{2}$ だけ遅らすと積分になる．）

(2) $f_7\apos(x)=-\sin x=\cos(x+\frac{\pi}{2})$
$f_7\apos\apos(x)=-\cos x=\cos(x+\frac{2\pi}{2})$
$f_7^{(3)}(x)=\sin x=\cos(x+\frac{3\pi}{2})$
$f_7^{(4)}(x)=\cos=\cos(x+\frac{4\pi}{2})$
これらは，次のようにまとめることができる
$f_7^{(n)}(x)=\cos(x+\frac{n\pi}{2})$

すなわち，余弦関数は位相を $\frac{\pi}{2}$ 進めると微分になる．（位相を $\frac{\pi}{2}$ だけ遅らすと積分になる．）

♪～ルンうまい話♪～ルンは，何度でも使おう～
■正弦・余弦関数は位相を $\frac{\pi}{2}$ 進めると微分になる．（位相を $\frac{\pi}{2}$ だけ遅らすと積分になる．）
■正接関数 $\tan x$ には，このうまい話はない

【例1.4.5】　次の関数の第n次導関数（n階導関数）を求めてください．（ただし，nは正の整数とする）
(1) $f_8\apos(x)=e^x\sin x$
(2) $f_9(x)=e^x\cos x$

（解答）
(1) $f_8\apos(x)=e^x\sin x+ e^x\cos x=\sqrt{2}e^x\sin(x+\frac{\pi}{4})$
$f_8\apos\apos(x)=\sqrt{2}\{e^x\sin(x+\frac{\pi}{4})+ e^x\cos(x+\frac{\pi}{4})\}$
$=\sqrt{2}e^x\{\sin(x+\frac{\pi}{4})+ \cos(x+\frac{\pi}{4})\}$

$\sin\theta+ \cos\theta=\sqrt{2}\sin(\theta+\frac{\pi}{4})$ だから
$x+\frac{\pi}{4}=\theta$ とおくと
$\sin(x+\frac{\pi}{4})+ \cos(x+\frac{\pi}{4})=\sin\theta+ \cos\theta$
$=\sqrt{2}\sin(\theta+\frac{\pi}{4})=\sqrt{2}\sin(x+\frac{2\pi}{4})$

$=\sqrt{2}^2e^x\sin(x+\frac{2\pi}{4})$
$f_8^{(n)}(x)=(\sqrt{2})^ne^x\sin(x+\frac{n\pi}{4})$
(2) $f_9\apos(x)=e^x\cos x-e^x\sin x=\sqrt{2}e^x\cos(x+\frac{\pi}{4})$
$f_9\apos\apos(x)=\sqrt{2}^2e^x\cos(x+\frac{2\pi}{4})$
$f_9^{(n)}(x)=(\sqrt{2})^ne^x\cos(x+\frac{n\pi}{4})$

【例1.4.6】
≪ライプニッツの公式≫～積の微分法について～
$f(x),\hspace{2}g(x)$ が区間Iにおいてn回微分可能であるとき
$\{f(x)g(x)\}^{(n)}=\sum_{k=0}^n_nC_kf(x)^{(n-k)}g(x)^{(k)}$

（解説）
$\{f(x)g(x)\}\apos=$ $f\apos(x)g(x)+$ $f(x)g\apos(x)$
$\{f(x)g(x)\}\apos\apos=$
$f\apos\apos(x)g(x)+ f\apos(x)g\apos(x)$ $f\apos(x)g\apos(x)+ f(x)g\apos\apos(x)$
$=f\apos\apos(x)g(x)+ 2f\apos(x)g\apos(x)+ f(x)g\apos\apos(x)$
$\{f(x)g(x)\}^{(3)}$
$=f^{(3)}(x)g(x)+ f\apos\apos(x)g\apos(x)$
$+ 2f\apos\apos(x)g\apos(x)+ 2f\apos(x)g\apos\apos(x)$
$+ f\apos(x)g\apos\apos(x)+ f(x)g^{(3)}(x)$
$=f^{(3)}(x)g(x)+ 3f\apos\apos(x)g\apos(x)+ 3f\apos(x)g\apos\apos(x)+ f(x)g^{(3)}(x)$
以下はnについての数学的帰納法によって証明できる．
（Ⅰ） n=1のとき
$\{f(x)g(x)\}^{(n)}=\sum_{k=0}^n_nC_kf(x)^{(n-k)}g(x)^{(k)}$
すなわち
$\{f(x)g(x)\}\apos=_1C_0f\apos(x)g(x)+ _1C_1f(x)g\apos(x)$
は積の微分法により成立する．
（Ⅱ） n=mのとき
$\{f(x)g(x)\}^{(m)}=\sum_{k=0}^m_mC_kf(x)^{(m-k)}g(x)^{(k)}$
が成り立つと仮定すると
$\{f(x)g(x)\}^{(m+ 1)}$
$=\sum_{k=0}^m\{_mC_kf(x)^{(m-k+ 1)}g(x)^{(k)}+_mC_kf(x)^{(m-k)}g(x)^{(k+ 1)}\}$

　以下の変形は，外から見ていると機械的もしくは無味乾燥に見えるかもしれないが，シグマ記号の添え字の付け方を，偶数番目と奇数番目で集め直して，同類項の係数を整理しているだけである．具体的に各項を書き出してみると変形の意味が分かる．
$\sum_{k=1}^m_mC_{k}=\hspace{0}_mC_1+ _mC_2+\cdot\cdot\cdot+ _mC_{m}$ $=\sum_{k=2}^{m+ 1}_mC_{k-1}$
だから
$\sum_{k=0}^m\{_mC_kf(x)^{(m-k+ 1)}g(x)^{(k)}+_mC_kf(x)^{(m-k)}g(x)^{(k+ 1)}\}$
$=\sum_{k=0}^m_mC_kf(x)^{(m-k+ 1)}g(x)^{(k)}$
$+\sum_{k=0}^m_mC_kf(x)^{(m-k)}g(x)^{(k+ 1)}$
$=\sum_{k=0}^m_mC_kf(x)^{(m-k+ 1)}g(x)^{(k)}$
$+\sum_{k=1}^{m+ 1}_mC_{k-1}f(x)^{(m-k+ 1)}g(x)^{(k)}$

：この形
$=\hspace{0}f(x)^{(m+ 1)}g(x)$
$+\sum_{k=1}^m_mC_kf(x)^{(m-k+ 1)}g(x)^{(k)}$
$+\sum_{k=1}^{m}_mC_{k-1}f(x)^{(m-k+ 1)}g(x)^{(k)}$
$+ f(x)g(x)^{(m+ 1)}$
ここで，黒色で書かれた式について，次の組合せ公式（高校数学Aで習う）を使う．
$_{n-1}C_{r-1}+ _{n-1}C_{r}=_{n}C_{r}$
この問題では
$_{m}C_{k-1}+ _{m}C_{k}=_{m+ 1}C_{k}$
したがって，黒字の部分は
$+\sum_{k=1}^m_{m+ 1}C_{k}f(x)^{(m-k+ 1)}g(x)^{(k)}$
全体は
$=\hspace{0}f(x)^{(m+ 1)}g(x)$
$+\sum_{k=1}^m_{m+ 1}C_{k}f(x)^{(m-k+ 1)}g(x)^{(k)}$
$+ f(x)g(x)^{(m+ 1)}$
$=\sum_{k=0}^{m+ 1}_{m+ 1}C_{k}f(x)^{(m-k+ 1)}g(x)^{(k)}$

(Ⅰ)(Ⅱ)より，n=m+1のときも成り立つから，数学的帰納法によりすべての自然数nについて成り立つ･･･■証明終■

♪～ルンうまい話♪～ルンは，何度でも使おう～
■無駄なく正確であっても，力技ちからわざは，歓迎されない．
■見通しよく，間違いが少ない「うまい話」に慣れよう．
■次の例を真似て，ライプニッツの公式を組み合わせて，見通しよく変形するとよい．

【例1.4.6.1】
$f(x)=x\sin x$ のn階導関数を求めてください．

（解答）
$f^{(n)}(x)=\sum_{k=0}^{n}_{n}C_{k}x^{(n-k)}(\sin x)^{(k)}$

ここで， $x^{(0)}=x,\hspace{3}x^{(1)}=1,\hspace{3}x^{(n)}=0,\hspace{3}(n\underline{\ge}2)$
　（形式的な記号 $x^{(0)}$ は $x$ 自体を表す）
であるから（ $k=n-1,\hspace{2}k=n$ の場合だけ消えずに残る）
$f^{(n)}(x)=\hspace{0}_nC_{n-1}x^{(1)}(\sin x)^{(n-1)}+ _nC_{n}x^{(0)}(\sin x)^{(n)}$
$=\hspace{0}n(\sin x)^{(n-1)}+ x(\sin x)^{(n)}$

さらに， $\sin x^{(n)}(x)=\sin(x+\frac{n\pi}{2})$ ←【例1.4.4】
であるから
$f^{(n)}(x)=n\sin(x+\frac{(n-1)\pi}{2})+ x\sin(x+\frac{n\pi}{2})$

さらに加えて， $\sin(x-\frac{\pi}{2})=-\cos x$ ←高校数学Ⅰの公式
であるから
$f^{(n)}(x)=-n\cos(x+\frac{n\pi}{2})+ x\sin(x+\frac{n\pi}{2})$

【例1.4.6.2】
$f(x)=x\log x\hspace{5}(x\gt 0)$ のn階導関数を求めてください．

（解答）
$f^{(n)}(x)=\sum_{k=0}^{n}_{n}C_{k}x^{(n-k)}(\log x)^{(k)}$

ここで， $x^{(0)}=x,\hspace{3}x^{(1)}=1,\hspace{3}x^{(n)}=0,\hspace{3}(n\underline{\ge}2)$
であるから（ $k=n-1,\hspace{2}k=n$ の場合だけ消えずに残る）
$f^{(n)}(x)=\hspace{0}_nC_{n-1}x^{(1)}(\log x)^{(n-1)}+ _nC_{n}x^{(0)}(\log x)^{(n)}$
$=\hspace{0}n(\log x)^{(n-1)}+ x(\log x)^{(n)}$

$(\log x)^{(n)}=\frac{(n-1)!(-1)^{n-1}}{x^n}$
↑【例1.4.3】を使うと
$f^{(n)}(x)=n\frac{(n-2)!(-1)^{n-2}}{x^{n-1}}+ x\frac{(n-1)!(-1)^{n-1}}{x^n}$
$=n\frac{(n-2)!(-1)^{n-2}}{x^{n-1}}+ \frac{(n-1)!(-1)^{n-1}}{x^{n-1}}$
あ～砂をかむような変形に陥ってきた～ブツブツ
$=\frac{\{n(n-2)!-(n-1)!\}(-1)^{n-2}}{x^{n-1}}$
$=\frac{\{n-(n-1)\}(n-2)!(-1)^{n-2}}{x^{n-1}}$
$=\frac{(n-2)!(-1)^{n-2}}{x^{n-1}}$
なお， $(-1)^{n-2}$ は， $(-1)^{n}$ としても同じ

【例1.4.6.3】
$f(x)=\frac{1}{x^2-1}$ のn階導関数を求めてください．

（解答）

この問題を(A) $f(x)=\{\frac{1}{x-1}\}\{\frac{1}{x+ 1}\}$ のように関数の積と見てライプニッツの公式を適用する方法と(B) $f(x)=\frac{1}{2}\{\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+ 1}\}$ のように部分分数分解する方法を比べてみると，(B)の方が楽にできます．
ライプニッツの公式は「うまい話」ですが，部分分数分解のように「定数倍の和差に分ける変形」は，「もっとうまい話」です．

(A)
$f(x)=\{\frac{1}{x-1}\}\{\frac{1}{x+ 1}\}$
のように２つの関数の積と見なすと，ライプニッツの公式により
$f^{(n)}(x)=\sum_{k=0}^n_nC_k\{\frac{1}{x-1}\}^{(n-k)}\{\frac{1}{x+ 1}\}^{(k)}$

ここで $(x^{-1})\apos=-x^{-2}$ ， $(x^{-1})\apos\apos=(-1)(-2)x^{-3}$ ， $(x^{-1})^{(n)}=n!(-1)^nx^{-(n+ 1)}$ だから

$f^{(n)}(x)=\sum_{k=0}^n_nC_k\{\frac{(n-k)!(-1)^{n-k}}{(x-1)^{n-k+ 1}}\}\{\frac{k!(-1)^k}{(x+ 1)^{k+ 1}}\}$

ここで $_nC_k=\frac{n!}{(n-k)!k!}$ だから $_nC_k(n-k)!k!=n!$

$f^{(n)}(x)=n!(-1)^n\sum_{k=0}^n\frac{1}{(x-1)^{n-k+ 1}(x+ 1)^{k+ 1}}$

シグマ記号は，初項が $\frac{1}{(x-1)^{n+ 1}}(x+ 1)}$ ，公比が $\frac{x-1}{x+ 1}$ ，項数が $n+ 1$ の等比数列の和だから
$f^{(n)}(x)=n!(-1)^n\frac{1}{(x-1)^{n+ 1}(x+ 1)}\cdot\frac{\frac{(x-1)^{n+ 1}}{(x+ 1)^{n+ 1}}-1}{\frac{x-1}{x+ 1}-1}$
$=n!(-1)^n\frac{(x+ 1)}{(x-1)^{n+ 1}(x+ 1)^{n+ 2}}\cdot\frac{(x-1)^{n+ 1}-(x+ 1)^{n+ 1}}{x-1-(x+ 1)}$
$=\frac{1}{2}n!(-1)^n\frac{1}{(x-1)^{n+ 1}(x+ 1)^{n+ 1}}\{(x+ 1)^{n+ 1}-(x-1)^{n+ 1}\}$
$=\frac{n!(-1)^n}{2}\{\frac{1}{(x-1)^{n+ 1}}-\frac{1}{(x+ 1)^{n+ 1}}\}$

(B)
$f(x)=\frac{1}{2}\{\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+ 1}\}$
$f^{(n)}(x)=\frac{1}{2}\{\frac{n!(-1)^n}{(x-1)^{n+ 1}}-\frac{n!(-1)^n}{(x+ 1)^{n+ 1}}\}$
$=\frac{n!(-1)^n}{2}\{\frac{1}{(x-1)^{n+ 1}}-\frac{1}{(x+ 1)^{n+ 1}}\}$

【例1.4.6.4】
$f(x)=\frac{x-1}{x+ 1}$ のn階導関数を求めてください．

（解答）

この問題も前問と同様に(A) $\{x-1\}\{\frac{1}{x+ 1}\}$ のように関数の積と見てライプニッツの公式を適用する方法よりも(B) $\{1-\frac{2}{x+ 1}\}$ のように商と余りに分ける方（数研出版の言い方で「分数式は富士の山」）が楽にできます．和差に分けるのは，「とてもうまい話」です．

（解答）
(B)の商と余りに分ける方法のみ示すと
$f^{(n)}(x)=\{1-\frac{2}{x+ 1}\}^{(n)}=\{-\frac{2}{x+ 1}\}^{(n)}$
$=(-2)\{\frac{1}{x+ 1}\}^{(n)}$

ここで $(x^{-1})\apos=-x^{-2}$ ， $(x^{-1})\apos\apos=(-1)(-2)x^{-3}$ ， $(x^{-1})^{(n)}=n!(-1)^nx^{-(n+ 1)}$ だから

$f^{(n)}(x)=(-2)\cdot n!(-1)^{n}\cdot\frac{1}{(x+ 1)^{n+ 1}}$
$=\frac{2\cdot n!(-1)^{n+ 1}}{(x+ 1)^{n+ 1}}$

【例1.4.6.5】
$f(x)=\sin\alpha x\cos\beta x$ のn階導関数を求めてください．

（解答）

この問題も前問と同様に(A)関数の積と見てライプニッツの公式を適用する方法と(B)三角関数の積を和に直す方法の２つが考えられますが，(B)の方が楽にできます．
微積は，「線形が好き」「定数倍と和差に分けると有利」と言えます

（解答）
(B)の方法
三角関数の積を和に直す公式により
$\sin\alpha x\cos\beta x=\frac{1}{2}\{\sin(\alpha+\beta)x+\sin(\alpha-\beta)x\}$
$f(x)=\frac{1}{2}\{\sin(\alpha+\beta)x+\sin(\alpha-\beta)x\}$
次に，三角関数の微分公式
$(\sin kx)^{(n)}=k^n\sin(kx+\frac{n\pi}{2})$
により
$\{\sin(\alpha+\beta)x\}^{(n)}=(\alpha+\beta)^n\sin\{(\alpha+\beta)x+\frac{n\pi}{2}\}$
$\{\sin(\alpha-\beta)x\}^{(n)}=(\alpha-\beta)^n\sin\{(\alpha-\beta)x+\frac{n\pi}{2}\}$
だから
$f^{(n)}(x)=\frac{1}{2}(\alpha+\beta)^n\sin\{(\alpha+\beta)x+\frac{n\pi}{2}\}$
$+\frac{1}{2}(\alpha-\beta)^n\sin\{(\alpha-\beta)x+\frac{n\pi}{2}\}$

(A)の方法
$f(x)=\sin\alpha x\cos\beta x$
$f^{(n)}(x)=\sum_{k=0}^n_nC_k(\sin\alpha x)^{(n-k)}(\cos\beta x)^{(k)}$
ここで
$(\sin\alpha x)^{(n-k)}=\alpha^{n-k}\sin(\alpha x+\frac{n-k}{2}\pi)$
$(\cos\beta x)^{(k)}=\beta^{k}\cos(\beta x+\frac{k}{2}\pi)$
を使うと
$f^{(n)}(x)=\sum_{k=0}^n_nC_k(\sin\alpha x)^{(n-k)}(\cos\beta x)^{(k)}$
$=\sum_{k=0}^n_nC_k\cdot\alpha^{n-k}\cdot\sin(\alpha x+\frac{n-k}{2}\pi)\cdot\beta^{k}\cdot\cos(\beta x+\frac{k}{2}\pi)$
三角関数の積を和に直す公式により
$\sin(\alpha x+\frac{n-k}{2}\pi)\cos(\beta x+\frac{k}{2}\pi)$
$=\frac{1}{2}\left[\sin\{(\alpha+\beta)x+\frac{n}{2}\pi\}+\sin\{(\alpha-\beta)x+\frac{n}{2}\pi-k\pi\}\right]$

右図のように
$\sin(\theta-k\pi)=(-1)^k\sin\theta$
が成り立つから

$=\frac{1}{2}\sin\{(\alpha+\beta)x+\frac{n}{2}\pi\}+\frac{(-1)^k}{2}\sin\{(\alpha-\beta)x+\frac{n}{2}\pi\}$

$f^{(n)}(x)=\frac{1}{2}\sum_{k=0}^n_nC_k\alpha^{n-k}\beta^k\sin\{(\alpha+\beta)x+\frac{n}{2}\pi\}$
$+\frac{(-1)^k}{2}\sum_{k=0}^n_nC_k\alpha^{n-k}\beta^k\sin\{(\alpha-\beta)x+\frac{n}{2}\pi\}$
$=\frac{1}{2}\sin\{(\alpha+\beta)x+\frac{n}{2}\pi\}\sum_{k=0}^n_nC_k\alpha^{n-k}\beta^k$
$+\frac{1}{2}\sin\{(\alpha-\beta)x+\frac{n}{2}\pi\}\sum_{k=0}^n_nC_k\alpha^{n-k}(-\beta)^k$

二項定理により
$(\alpha+\beta)^n=\sum_{k=0}^n_nC_k\alpha^{n-k}\beta^k$
$(\alpha-\beta)^n=\sum_{k=0}^n_nC_k\alpha^{n-k}(-\beta)^k$

$=\frac{1}{2}\sin\{(\alpha+\beta)x+\frac{n}{2}\pi\}(\alpha+\beta)^n$
$+\frac{1}{2}\sin\{(\alpha-\beta)x+\frac{n}{2}\pi\}(\alpha-\beta)^n$

1.5　連続微分可能，Cⁿ級，C^∞級

　n階導関数が連続であるような関数 $f(x)$ をCⁿ級の関数であるという．

※「Cⁿ級」や「連続微分可能」という用語は，意味をうっかり取り違いやすいので，ていねいに読む必要がある．

[1]　まず，「 $f(x)$ が連続微分可能である」とは，「 $f(x)$ が連続でかつ微分可能である」ということではない．

　1.2の「連続と微分可能」の項で示したように，微分可能ならば連続であるので，同じ関数について微分可能の上にさらに連続をいう必要はない．
「 $f(x)$ が連続微分可能である」とは，「 $f(x)$ が微分可能で $f\apos(x)$ が連続である」ことをいう．

　次のように言い直してもよい．
「 $f(x)$ が連続微分可能である」とは，「 $f\apos(x)$ が（存在して）連続である」ことをいう．簡潔に言えば「 $f\apos(x)$ が連続である」ことをいう．（ $f\apos(x)$ が存在しなければこの話はないから，連続であると言えば，存在していることが言えている）

[2]　次に，微分する動作は「n回微分する」と回の字を充て，できた関数は「n階導関数」と階の字を充てる．
　すなわち， $f(x)$ をn回微分するとn階導関数 $f^{(n)}(x)$ になると言う言い方をする．

[3]　「Cⁿ級すなわち $f(x)$ がn回連続微分可能である」とは「 $f(x)$ がn回微分可能で $f^{(n)}(x)$ が連続である」ことをいう．
　要約すれば，「Cⁿ級すなわち $f(x)$ がn回連続微分可能である」とは「 $f^{(n)}(x)$ が連続である」ことといえる．

[4]　例えば， $f(x)=e^x$ という関数は，1階導関数が連続で，2階導関数も連続で，3階導関数も連続，･･･になっているので，C¹級，C²級，C³級，･･･のどれにでも該当する．実は，Cⁿ級という用語は「ちょうどn回まで連続微分可能でn+1回までは連続微分可能ではない」という形の「ちょうど何回」という使い方をしない．はっきり言えば「少なくともn回連続微分可能であるときCⁿ級」という．
　したがって，ある正の整数nについて，Cⁿ級と言える場合は，C¹級～Cⁿ⁻¹級までのすべてに該当する．
　Cⁿ級という用語がこのように定義されていると，実際に使うときに便利になる．例えば「関数 $f(x),\hspace{2}g(x)$ が，C²級であるとき」などと書けば，少なくとも第2導関数までは連続であることが言えて，2階導関数までの議論が自由にできる．（3階以上の導関数については調べなくてもよい）

[5]　何回でも連続微分可能である関数は，C^∞級と呼ばれる．
　高校数学に登場する，n次式，多項式，分数関数（有理関数）の分母が０になるところ以外，三角関数，指数関数，対数関数の真数が正のところなど，これまでによく登場してきた関数はC^∞級である．したがって，これらの関数は，C¹級，C²級，C³級，･･･のいずれにも該当する．
　また，用語を広げて，関数 $f(x)$ 自体が連続であることを，C⁰級という（この場合，１回以上連続微分であっても構わない）．

[6]　「ちょうどn回連続微分可能で，n+1回以上は連続微分可能ではない」関数を作ることは，むしろ難しい．
　前述の【例1.1.2】の関数 $f(x)=\mid x\mid$ は，連続であるが微分可能ではない．したがって，C⁰級である．
　次に，これを1回だけ積分した関数（ただし簡単にするために定数倍する） $f(x)=x\mid x\mid$ は， $x=0$ のときだけ，微分可能性を調べる必要がある．（それ以外の点では連続微分可能）
ア）　 $x\gt 0$ のとき $f(x)=x^2$
$f\apos(+ 0)=\lim_{x\rightarrow + 0}\frac{x^2-0}{x}=\lim_{x\rightarrow+ 0}x=0$
イ）　 $x\lt 0$ のとき $f(x)=-x^2$
$f\apos(-0)=\lim_{x\rightarrow -0}\frac{-x^2-0}{x}=\lim_{x\rightarrow+ 0}(-x)=0$
ア）とイ）が一致するから， $x=0$ において1回微分可能．また，1階導関数は連続．
　しかし， $f\apos(x)=2x\mid x\mid$ は $x=0$ において微分可能ではないから，C¹級であって，C²級でない．
　同様にして，

$f(x)=x^n\mid x\mid$ という関数を考えると，１つの点 $x=0$ においてn回連続微分可能であるがn+1回は連続微分可能でない関数の例となる．

　ここまでの例は，１つの点でのみ微分可能でないために，微分可能な回数に制限があるものであったが，「多くの」いやはっきり言えば「無限の点で」微分不可能な関数の例は，大学の解析の講義で習うことがある（理学部でなければ習わない場合もある）．

　次の関数は，ワイエルシュトラスが1872に発表したもので，「至るところ連続で，至るところ微分不可能な関数」の例となっている．（発表当時から，驚きで迎えられたものらしい）
$W_1(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a^n\cos(b^n\pi x)$
（ $0\lt a\lt 1$ ， $b$ は $ab\gt 1$ を満たす数）
※筆者の能力では，分かりやすく説明するのは無理であるが，大雑把なイメージとしては，「どこまで細かく見て行っても，折れ曲がっているブラウン運動の軌跡」のようなものを考えるとよい．

　一般に「連続であって，かつ，微分不可能な関数を積分すれば，1回だけ微分可能な関数になり，2回積分すれば１回だけ微分可能な関数となる．」

　これにより， $W_1(x)$ はC⁰級であって，C¹級でない． $W_1(x)$ を1回積分したものは，C¹級であって，C²級でない． $W_1(x)$ を2回積分したものは，C²級であって，C³級でない．･･･n回の微分で任意の点が微分不可能となる関数が示されたことになる．

1.6　近似式

【平均値の定理】
　関数 $f(x)$ が閉区間 $[a,\hspace{2}b]$ で連続，開区間 $(a,\hspace{2}b)$ で微分可能ならば
$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f\apos(c)\hspace{10}(a\lt c\lt b)$ ･･･①
を満たす $c$ が少なくとも１つ存在する．

　証明は，高校数学Ⅲや大学の教科書に出ています．ここでは，「図解により感覚的に」意味をつかむことにします．
$m=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$
は，区間 $a\underline{\le}x\underline{\le}b$ の平均変化率で

ア） $a\lt x\lt b$ における微分係数（接線の傾き）が， $m$ よりも大きいものばかりであれば，Aから関数 $f(x)$ のグラフを描いたとき，右図のように直線ABよりも上に行ってしまい，点Bにたどり着けません．

イ）　逆に， $a\lt x\lt b$ における微分係数（接線の傾き）が， $m$ よりも小さいものばかりでも，Aから関数 $f(x)$ のグラフを描いたとき，右図のように直線ABよりも下に行ってしまい，点Bにたどり着けません．

　結局，AからBに行く曲線 $f(x)$ を描けば， $a\lt x\lt b$ の途中に $f\apos(c)=m$ となる点が少なくとも１つはできるということです．

　平均値の定理の重要な点の１つは，関数 $f(x)$ がその導関数 $f\apos(x)$ で表されるということです．例えば， $a\lt x\lt b$ において導関数 $f\apos(x)$ の符号がつねに正だったら，関数 $f(x)$ は増加関数になるというような使い方は覚えていると思います．

　平均値の定理の分母を払うと，
$f(b)-f(a)=f\apos(c)(b-a)$
すなわち
$f(b)=f(a)+ f\apos(c)(b-a)$
$b$ を変数 $x$ として使うと
$f(x)=f(a)+ f\apos(c)(x-a)\hspace{5}(a\lt c\lt x)$ ･･･②

【１次の近似式】
平均値の定理の分母を払った式
$f(x)=f(a)+ f\apos(\fbox{c})(x-a)\hspace{10}(a\lt c\lt x)$ ･･･②
において，微分係数（傾き）として $f\apos(c)$ の代わりに， $f\apos(a)$ を使うと
$f(x)$ ≒ $f(a)+ f\apos(\fbox{a})(x-a)$ ･･･③
という式が得られる．この式は，真の値 $f(x)$ の代わりにその近似値を与えるもので「 $x=a$ のまわりの１次の近似式」と呼ばれる．

【例1.6.1】
$f(x)=\sqrt{x}$ の $x=1$ のまわりの１次の近似式を求めてください．また，それを使って $\sqrt{1.02}$ の近似値を求めてください．

（解答）
$f\apos(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$
$f(x)$ ≒ $f(1)+ f\apos(1)(x-1)$
$=1+\frac{1}{2}(x-1)$
$=\frac{x+ 1}{2}$ ･･･（答）
$\sqrt{1.02}$ ≒ $\frac{1.02+ 1}{2}=1.01$ ･･･（答）

【例1.6.2】
$f(x)=\sin x$ の $x=\frac{\pi}{3}$ のまわりの１次の近似式を求めてください．また，それを使って $\sin\frac{11}{30}\pi$ の近似値を小数第3位（第4位四捨五入）まで求めてください．

（解答）
$f\apos(x)=\cos x$
$f(x)$ ≒ $f(\frac{\pi}{3})+ f\apos(\frac{\pi}{3})(x-\frac{\pi}{3})$
$=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}(x-\frac{\pi}{3})$ ･･･（答）
$f(\frac{11}{30}\pi)$ ≒ $\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}(\frac{11}{30}\pi-\frac{\pi}{3})$
$=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{30}$ ≒ $0.918$ ･･･（答）

【例1.6.3】
$f(x)=\cos x$ の $x=\frac{\pi}{4}$ のまわりの１次の近似式を求めてください．また，それを使って $\cos 46^{\circ}$ の近似値を小数第3位（第4位四捨五入）まで求めてください．

（解答）
$f\apos(x)=-\sin x$
$f(x)$ ≒ $f(\frac{\pi}{4})+ f\apos(\frac{\pi}{4})(x-\frac{\pi}{4})$
$=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}(x-\frac{\pi}{4})$ ･･･（答）
次に，46°を弧度法に直す
$180:46=\pi:\theta$
$\theta=\frac{46}{180}\pi=\frac{23}{90}\pi$

$x=\frac{23}{90}\pi$ に対して上記の近似式を適用すると
$f(\frac{23}{90}\pi)$ ≒ $f(\frac{\pi}{4})+ f\apos(\frac{\pi}{4})(\frac{23}{90}\pi-\frac{\pi}{4})$
$=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}(\frac{23}{90}\pi-\frac{\pi}{4})$
$=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\pi}{180}$ ≒ $0.695$

【例1.6.4】
$f(x)=\sin x$ の $x=0$ のまわりの１次の近似式を求めてください．

（解答）
$f\apos(x)=\cos x$
$f(x)$ ≒ $f(0)+ f\apos(0)(x-0)$
$=x$ ･･･（答）

【例1.6.5】
$f(x)=e^x$ の $x=0$ のまわりの１次の近似式を求めてください．

（解答）
$f\apos(x)=e^x$
$f(x)$ ≒ $f(0)+ f\apos(0)(x-0)$
$=1+ x$ ･･･（答）

【２次の近似式】
　関数 $f(x)$ が2回微分可能であるとき，「 $x=a$ のまわりの２次の近似式」は
$f(x)$ ≒ $f(a)+ f\apos(a)(x-a)+\frac{f\apos\apos(a)}{2}(x-a)^2$ ･･･④
で表される．

（解説）
　関数 $f(x)$ を $x-a$ の2次式まで使った式で表したとき
$f(x)=f(a)+ f\apos(a)(x-a)+ k(x-a)^2$
となるように定数 $k$ を定める．
　両辺を $x$ で微分すると
$f\apos(x)=f\apos(a)+ 2k(x-a)$
$\frac{f\apos(x)-f\apos(a)}{x-a}=2k$ ･･･(*1)
　関数 $f(x)$ が2回微分可能であるから，関数 $f\apos(x)$ に平均値の定理を適用すると
$\frac{f\apos(x)-f\apos(a)}{x-a}=f\apos\apos(c)\hspace{10}(a\lt c\lt x)$
を満たす $c$ が少なくとも１つ存在する．
そこで，この $c$ を $a$ に置き換えると，近似値になる．
$\frac{f\apos(x)-f\apos(a)}{x-a}$ ≒ $f\apos\apos(a)$ ･･･(*2)
(*1)(*2)から
$k$ ≒ $\frac{1}{2}f\apos\apos(a)$
以上により④が示される．

※通常，2次の近似式までが多いが，同様にして，3次，4次の近似式を求めると次の形になる．
$f(x)$ ≒ $f(a)+ f\apos(a)(x-a)+\frac{f\apos\apos(a)}{2}(x-a)^2+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3$
$f(x)$ ≒ $f(a)+ f\apos(a)(x-a)+\frac{f\apos\apos(a)}{2}(x-a)^2$
$+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3+\frac{f^{(4)}(a)}{4!}(x-a)^4$

（参考）
　「 $x=a$ のまわりの近似式」は
$A_0+ A_1(x-a)$
$A_0+ A_1(x-a)+ A_2(x-a)^2$
$A_0+ A_1(x-a)+ A_2(x-a)^2+ A_3(x-a)^3$
のように， $(x-a)^k$ の多項式で表される．
　これに対して，通常よく見る次の形は，「 $x=0$ のまわりの近似式」を表すときに使う．
$A_0+ A_1x$
$A_0+ A_1x+ A_2x^2$
$A_0+ A_1x+ A_2x^2+ A_3x^3$

【例1.6.6】
$f(x)=(1+ x)^5$ の $x=0$ のまわりの2次の近似式を求めてください．また，それを使って，0.987⁵の近似値を小数第4位まで（小数第5位四捨五入）求めてください．

（解答）
$f\apos(x)=5(1+ x)^4$
$f\apos\apos(x)=20(1+ x)^3$
$f(x)$ ≒ $f(0)+ f\apos(0)x+\frac{f\apos\apos(0)}{2}x^2$
$=1+ 5x+ 10x^2$ ･･･（答）
$x=-0.013$ を代入すると

$f(-0.013)$ ≒ $1-0.065+ 0.00169=0.936\overset{7\hspace{3}}{\sout{69}}$
$0.9367$ ･･･（答）

【例1.6.7】
$f(x)=\sqrt{1+ x+ x^2}$ の $x=0$ のまわりの2次の近似式を求めてください．また，それを使って， $\sqrt{1.11}$ の近似値を小数第3位まで（小数第4位四捨五入）求めてください．

（解答）
$f(x)=(1+ x+ x^2)^{\frac{1}{2}}$
$f\apos(x)=\frac{1}{2}(1+ x+ x^2)^{-\frac{1}{2}}(1+ 2x)$
$f\apos\apos(x)=-\frac{1}{4}(1+ x+ x^2)^{-\frac{3}{2}}(1+ 2x)$
$+\frac{1}{2}(1+ x+ x^2)^{-\frac{1}{2}}\times 2$
$x=0$ のまわりの2次の近似式は
$f(x)$ ≒ $f(0)+ f\apos(0)x+\frac{f\apos\apos(0)}{2}x^2$
$=1+\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}x^2$
$x=0.1$ のとき
$\sqrt{1.11}$ ≒ $1+\frac{1}{2}\times 0.1+\frac{3}{8}\times 0.01=1.05\overset{4\hspace{10}}{\sout{37\cdot\cdot}}$
$1.054$ ･･･（答）

1.7　誤差の限界

　上記の【例1.6.2】～【例1.6.6】などにおいて，小数第4位までの近似値を求める問題があったが，それらの問題において「真の値と小数第4位までの近似値が一致する」ということではない．特別な意味を持たせずに，近似式を使って小数第何位まで求めてみようと言う形で近似式の使い方を練習しただけである．
　これに対して，真の値と近似値との「誤差の限界」を調べたいときは，次のように求める．

１次の近似式は
$f(x)$ ≒ $f(a)+ f\apos(a)(x-a)$ ･･･(1)
２階導関数まで用いて真の値を求めると
$f(x)=f(a)+ f\apos(a)(x-a)+\frac{f\apos\apos(c)}{2}(x-a)^2$ ･･･(2)

（ただし， $a\lt c\lt x$ ）

(1)と(2)の差が誤差であるから，誤差は

$\mid\hspace{2}\frac{f\apos\apos(c)}{2}(x-a)^2\hspace{2}\mid$

２次の近似式は
$f(x)$ ≒ $f(a)+ f\apos(a)(x-a)+\frac{f\apos\apos(a)}{2}(x-a)^2$ ･･･(3)
３階導関数まで用いて真の値を求めると
$f(x)=f(a)+ f\apos(a)(x-a)+\frac{f\apos\apos(a)}{2}(x-a)^2$
$+\frac{f^{(3)}(c)}{3!}(x-a)^3$ ･･･(4)

（ただし， $a\lt c\lt x$ ）

(3)と(4)の差が誤差であるから，誤差は

$\mid\hspace{2}\frac{f^{(3)}(c)}{3!}(x-a)^3\hspace{2}\mid$

　一般に，(n−1)次近似式と真の値との差
$R_n=\frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-a)^n$
を，剰余項という．実際上は， $c$ の値が簡単には求められなくても，全体として大きめに余裕を持たせると誤差の限界を計算できる．

　【例1.6.2】では， $f(x)=\sin x$ の $x=\frac{\pi}{3}$ のまわりの１次の近似式を使って $\sin\frac{11}{30}\pi$ の近似値を求めた．
$f(\frac{11}{30}\pi)$ ≒ $\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}(\frac{11}{30}\pi-\frac{\pi}{3})$
$=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{30}$ ≒ $0.918$
　この近似値の誤差の限界は，次のようにして計算できる．
$f^{(2)}(x)=-\sin x$
だから
$R_2=\frac{-\sin c}{2}(\frac{11}{30}\pi-\frac{\pi}{3})=\frac{\pi}{60}(-\sin c)$
誤差の限界は
$\mid\hspace{2}R_2\hspace{2}\mid=\frac{\pi}{60}\cdot\mid\hspace{2}-\sin c\hspace{2}\mid\underline{\le}\frac{\pi}{60}$ ≒0.05236
　したがって，小数第２位から誤差が入って来る可能性がある．

　【例1.6.5】では， $f(x)=e^x$ の $x=0$ のまわりの１次の近似式を求めた．
$e^x$ ≒ $1+ x$
　例えば，x=0.1のときの近似値は，1.1になり，その誤差の限界は次のように計算できる．
$f^{(2)}(x)=e^x$
$R_2=\frac{e^c}{2}x^2$
だから，x=0.1のとき，誤差の限界は
$\mid\hspace{2}R_2\hspace{2}\mid=\frac{e^c}{2}\times 0.01\underline{\le}\frac{e^{0.1}}{2}\times 0.01$ ≒0.0055
　したがって，小数第3位から誤差が入って来る可能性がある．
　この同じ式で２次の近似式まで求める場合，近似式は
$e^x$ ≒ $1+ x+\frac{x^2}{2}$
$R_2=\frac{e^c}{2}x^2$
だから，x=0.1のとき，誤差の限界は
$\mid\hspace{2}R_3\hspace{2}\mid=\frac{e^c}{3!}\times 0.001\underline{\le}\frac{e^{0.1}}{6}\times 0.001$ ≒0.000184
　したがって，小数第4位から誤差が入って来る可能性がある．

【例1.7.1】
　 $0\lt x\lt 0.1$ のとき，近似式として $\sqrt[5]{1+ x}=1+\frac{x}{5}$ を用いた場合の誤差の限界を求めてください．

（解答）
$f(x)=\sqrt[5]{1+ x}=(1+ x)^{\frac{1}{5}}$
とおくと
$f\apos(x)=\frac{1}{5}(1+ x)^{-\frac{4}{5}}$
$f\apos\apos(x)=-\frac{4}{25}(1+ x)^{-\frac{9}{5}}$
x=0のまわりの１次の近似式は
$f(x)=f(0)+ f\apos(0)x$
$\sqrt[5]{1+ x}=1+\frac{x}{5}$
$0\lt c\lt x$ とするとき，剰余項は
$R_2=\frac{f\apos\apos(c)}{2}x^2=-\frac{2}{25}x^2$
$0\lt x\lt 0.1$ のとき，誤差の限界は
$\mid\hspace{2}R_2\hspace{2}\mid=\frac{2}{25}x^2\lt 0.08\times 0.1^2=0.0008$

1.8　テイラーの定理

【テイラーの定理】（有限テイラー展開）
　関数 $f(x)$ がある区間Iにおいてn回微分可能であるとするとき，区間Iの任意の２点 $a,\hspace{2}x$ に対して，次の式を満たす $c\hspace{5}(a\lt c\lt x)$ が存在する．
$f(x)=f(a)+ f\apos(a)(x-a)+\frac{f\apos\apos(a)}{2!}(x-a)^2$
$+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3+\cdots+\frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}(x-a)^{n-1}+ R_n$
　ここで
$R_n=\frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-a)^{n}$
は剰余項と呼ばれる．
　剰余項は， $c=a+\theta(x-a),\hspace{5}(0\lt \theta\lt 1)$ となる0と1の間の数値 $\theta$ を用いて表すこともできる．

【マクローリンの定理】（有限マクローリン展開）
　テイラーの定理において，特に $a=0$ の場合をマクローリンの定理という．
$f(x)=f(0)+ f\apos(0)x+\frac{f\apos\apos(0)}{2!}x^2$
$+\frac{f^{(3)}(0)}{3!}x^3+\cdots+\frac{f^{(n-1)}(0)}{(n-1)!}x^{n-1}+ R_n$
　ここで
$R_n=\frac{f^{(n)}(c)}{n!}x^{n}$
は剰余項と呼ばれる．
　剰余項は， $c=\theta x,\hspace{5}(0\lt \theta\lt 1)$ となる0と１の間の数値 $\theta$ を用いて表すこともできる．

（解説）
　２次の近似式④までは既に述べているので，ここでは３次の近似式を調べてみる．
$f(x)=f(a)+ f\apos(a)(x-a)+\frac{f\apos\apos(a)}{2!}(x-a)^2+ k(x-a)^3$
となる定数 $k$ を求めるには
　両辺を $x$ で微分する
$f\apos(x)=f\apos(a)+ f\apos\apos(a)(x-a)+ 3k(x-a)^2$
　さらに，両辺を $x$ で微分する
$f\apos\apos(x)=f\apos\apos(a)+ 3\cdot 2k(x-a)$
　関数 $f\apos\apos(x)$ に対して平均値の定理を適用すると
$\frac{f\apos\apos(x)-f\apos\apos(a)}{x-a}=f^{(3)}(c)\hspace{5}(a\lt c\lt x)$
となる $c$ が存在するから
$k=\frac{f^{(3)}(c)}{3!}$

　同様にして，(n−1)次の近似式を求めると，テイラーの定理が得られる．特に， $a=0$ とすればマクローリンの定理が得られる．

【テイラー級数】（テイラー展開）
　関数 $f(x)$ がある区間において無限回微分可能であって，テイラーの定理における剰余項が
$n\rightarrow\infty$ のとき $R_n(x)\rightarrow 0$
となる場合，
$f(x)=f(a)+ f\apos(a)(x-a)+\frac{f\apos\apos(a)}{2!}(x-a)^2$
$+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3+\cdots$
すなわち
$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$
（ただし， $f^{(0)}(x)}$ は関数 $f(x)$ 自体を表すものとする）
のべき級数を $x=a$ のまわりのテイラー級数という．また，この形に表すことをテイラー展開するという．

【マクローリン級数】（マクローリン展開）
$f(x)=f(0)+ f\apos(0)x+\frac{f\apos\apos(0)}{2!}x^2+\frac{f^{(3)}(0)}{3!}x^3+\cdots$
すなわち
$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$
のべき級数をマクローリン級数という．また，この形に表すことをマクローリン展開するという．

【例1.8.1】
　 $f(x)=e^x$ の

(1) $x=a$ のまわりのn次までの有限テイラー展開
(2) $x=a$ のまわりのテイラー級数
(3)n次までの有限マクローリン展開
(4)マクローリン級数

を各々求めてください．（級数の収束条件については，後で登場するので，ここでは収束条件を検討しなくてもよい）

（解答）
$f(x)=e^x$ は無限回微分可能で， $f^{(n)}(x)=e^x$ だから
(1)
$f(x)=f(a)+ f\apos(a)(x-a)+\frac{f\apos\apos(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3$
$+\hspace{2}\cdots\hspace{2}+\frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}(x-a)^{n-1}+\frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-a)^{n}$
$=e^a+ e^a(x-a)+\frac{e^a}{2!}(x-a)^2+\frac{e^a}{3!}(x-a)^3$
$+\hspace{2}\cdots\hspace{2}+\frac{e^a}{(n-1)!}(x-a)^{n-1}+\frac{e^c}{n!}(x-a)^{n}$
（ただし， $a\lt c\lt x$ ）
(2)
$f(x)=e^a+ e^a(x-a)+\frac{e^a}{2!}(x-a)^2+\frac{e^a}{3!}(x-a)^3$
$+\hspace{2}\cdots\hspace{2}+\frac{e^a}{n!}(x-a)^{n}+\hspace{2}\cdots\hspace{2}$
$=e^a\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x-a)^n}{n!}$
(3)
$f(x)=1+ x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\hspace{2}\cdots\hspace{2}+\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}+ e^c\frac{x^{n}}{n!}$
（ただし， $0\lt c\lt x$ ）
(4)
$f(x)=1+ x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\hspace{2}\cdots\hspace{2}+\frac{x^{n}}{n!}+\cdots$
$=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$

【例1.8.2】
　次の関数のマクローリン展開を求めてください．
(1) $\sqrt{1-x}$
(2) $\sin x$
(3) $\cos x$
(4) $\log(1+ x)$

（解答）
(1) $f(x)=\sqrt{1-x}=(1-x)^{\frac{1}{2}}$
とおくと
$f\apos(x)=(-1)\frac{1}{2}(1-x)^{-\frac{1}{2}}$
$f\apos\apos(x)=(-1)^2(\frac{1}{2})(-\frac{1}{2})(1-x)^{-\frac{3}{2}}$
$f^{(3)}(x)=(-1)^3(\frac{1}{2})(-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2})(1-x)^{-\frac{5}{2}}$
$f^{(n)}(x)=(-1)^n(-1)^{n-1}\frac{(2n-3)!!}{2^{n}}(1-x)^{-\frac{2n-1}{2}}$
$=(-1)^{2n-1}\frac{(2n-3)!!}{2^{n}}(1-x)^{-\frac{2n-1}{2}}$
$=-\frac{(2n-3)!!}{2^{n}}(1-x)^{-\frac{2n-1}{2}}$
$\sqrt{1-x}=f(0)+ f\apos(0)x+\frac{f\apos\apos(0)}{2!}x^2+\frac{f^{(3)}(0)}{3!}x^3\cdots$
$=1-\frac{x}{2}-\frac{x^2}{2^22!}-\frac{3!!x^3}{2^33!}-\cdots$
$=1-\frac{x}{2}-\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(2n-3)!!x^n}{2^nn!}$

(2) $f(x)=\sin x$
とおくと，【例1.4.4】(1)の結果から
$f^{(n)}(x)=\sin(x+\frac{n\pi}{2})$
$\sin x=f(0)+ f\apos(0)x+\frac{f\apos\apos(0)}{2!}x^2+\frac{f^{(3)}(0)}{3!}x^3\cdots$
$=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots$
$=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^{2n+ 1}}{(2n+ 1)!}$

(3) $f(x)=\cos x$
とおくと，【例1.4.4】(2)の結果から
$f^{(n)}(x)=\cos(x+\frac{n\pi}{2})$
$\cos x=f(0)+ f\apos(0)x+\frac{f\apos\apos(0)}{2!}x^2+\frac{f^{(3)}(0)}{3!}x^3\cdots$
$=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots$
$=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}$

(4) $f(x)=\log x$
とおくと，【例1.4.3】(1)の結果から
$f^{(n)}(x)=\frac{(n-1)!(-1)^{n-1}}{x^n}$
だから， $g(x)=\log(1+ x)=f(x+ 1)$ とおくと
$g^{(n)}(x)=f^{(n)}(x+ 1)=\frac{(n-1)!(-1)^{n-1}}{(x+ 1)^n}$
$\log(1+ x)=g(0)+ g\apos(0)x+\frac{g\apos\apos(0)}{2!}x^2+\frac{g^{(3)}(0)}{3!}x^3\cdots$
$=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots$
$=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+ 1}x^{n}}{n}$

（その他，幾つかの関数のマクローリン展開［結果のみ］）
■三角関数
(#1) $\tan x=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+\frac{17x^7}{315}+\frac{62x^9}{2835}+\cdots$
（ベルヌーイ数を $B_n$ で表すとき，この級数の一般項は
$\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_n}{(2n)!}x^{2n-1}$
になっている）

(#2) $\cot x=\frac{1}{x}-\frac{x}{3}-\frac{x^3}{45}-\frac{2x^5}{945}-\cdots$
（ベルヌーイ数を $B_n$ で表すとき，この級数の一般項は
$-\frac{2^{2n}B_n}{(2n)!}x^{2n-1}$
になっている）

■逆三角関数
(#3) $\sin^{-1}x=x+\frac{x^3}{2\cdot 3}+\frac{1\cdot 3x^5}{2\cdot 4\cdot 5}+\frac{1\cdot 3\cdot 5x^7}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 7}+\cdots$
（この級数の一般項(n≧1)は
$\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!(2n+ 1)}x^{2n+ 1}$
になっている）

(#4) $\cos^{-1}x=\frac{\pi}{2}-\sin x$
$=\frac{\pi}{2}-\{x+\frac{x^3}{2\cdot 3}+\frac{1\cdot 3x^5}{2\cdot 4\cdot 5}+\frac{1\cdot 3\cdot 5x^7}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 7}+\cdots\}$

(#5) $\tan^{-1}x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\cdots$

■双曲線関数
(#6) $\sinh x=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!}+\cdots$
(#7) $\cosh x=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}+\cdots$
(#7) $\tanh x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}-\frac{17x^7}{315}+\cdots$

【例1.8.3】
　次の関数のマクローリン展開を $x^4$ の項まで求めてください．
$\frac{1+ x}{1-x}$

（解答）

積の微分法や商の微分法を使うよりも，商と余りに分けて「分数式は富士の山」（数研の用語）とする方が簡単になることが多い
$\frac{1+ x}{1-x}=-1+\frac{2}{1-x}$
のように変形してから高階導関数を求めるとよい．

$f(x)=\frac{1+ x}{1-x}=-1+\frac{2}{1-x}=-1+ 2(1-x)^{-1}$
とおく
$f\apos(x)=2(1-x)^{-2}$
$f\apos\apos(x)=4(1-x)^{-3}$
$f^{(3)}(x)=12(1-x)^{-4}$
$f^{(4)}(x)=48(1-x)^{-5}$
$f(0)+ f\apos(0)x+\frac{f\apos\apos(0)}{2}x^2+\frac{f^{(3)}(0)}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4$
$=1+ 2x+ 2x^2+ 2x^3+ 2x^4$ ･･･（答）

【例1.8.4】
　次の関数のマクローリン展開を $x^4$ の項まで求めてください．
$f(x)=x^2e^{-x}$

（解答）

　全く何もない所から高階導関数を計算していくよりも，既知の結果が使える場面では，うまく利用する方が見通しよく，計算間違いも少なくなります．

$e^x\simeq 1+ x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^{4}}{4!}$
から，符号を変えれば
$e^{-x}\simeq 1-x+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^{4}}{4!}$
さらに，両辺に $x^2$ を掛けると
$x^2e^{-x}\simeq x^2-x^3+\frac{x^4}{2!}\hspace{5}(-\frac{x^5}{3!}+\frac{x^{6}}{4!})$
（　）以降は不要
$x^2e^{-x}\simeq x^2-x^3+\frac{x^4}{2}$ ･･･（答）

【例1.8.5】
　次の関数のマクローリン展開を $x^4$ の項まで求めてください．
$f(x)=e^x\sin x$

（解答）

　全く何もない所から高階導関数を計算していくよりも，既知の結果が使える場面では，うまく利用する方が見通しよく，計算間違いも少なくなります．
【例1.4.5】(1)のように三角関数の合成による方法，関数の積に対してライプニッツの公式を使う方法もあります．その他，４次の項までという指定を利用すると，次の方法が使えます．
$e^x\sin x=(1+ x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots)(x-\frac{x^3}{3!}+\cdots)$
５次以上の項は掛ける必要がない

$e^x\sin x\simeq (1+ x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots)(x-\frac{x^3}{3!}+\cdots)$
$=x+ x^2+\frac{x^3}{2!}+\frac{x^4}{3!}$ $-\frac{x^3}{3!}-\frac{x^4}{3!}$
$=x+ x^2+\frac{x^3}{3}$ ･･･（答）

1.9　収束半径

　テイラー級数やマクローリン級数は無限級数となるので，収束半径を考える必要があります．
　詳しくは，このページ，このページ参照

　ほとんどの級数の収束判定は，ダランベールの判定法でできる．それでダメなときはコーシーの判定法もある．

【ダランベールの判定法の要点】
　無限正項級数 $\{A_n\}$ について，ある番号から先の $n$ に対して
$\frac{A_{n+ 1}}{A_n}\underline{\le}r\lt 1$
となる定数 $n$ が存在するとき，すなわち
$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{A_{n+ 1}}{A_n}\underline{\le}r\lt 1$
となるとき， $A_n$ は収束する無限等比級数 $ar^{n-1}$ を超えないから，この級数も収束すると言える．
　したがって，無限級数 $\{A_n\}$ が収束するための条件は
$\lim_{n\rightarrow\infty}\mid\frac{A_{n+ 1}}{A_n}\mid\underline{\le}r\lt 1$ ･･･①
となる定数 $n$ が存在することである．

　べき級数（整級数）
$\sum_{n=1}^{\infty}a_nx^n$
が，収束するための条件は
$\lim_{n\rightarrow\infty}\mid\frac{a_{n+ 1}x^{n+ 1}}{a_nx^n}\mid=\lim_{n\rightarrow\infty}\mid\frac{a_{n+ 1}}{a_n}x\mid\lt 1$ ･･･②
であるから，べき級数が収束するための $x$ のとり得る値の範囲は
$\mid x\mid\lt\lim_{n\rightarrow\infty}\mid\frac{a_n}{a_{n+ 1}}\mid$
すなわち，収束半径 $r$ は
$r=\lim_{n\rightarrow\infty}\mid\frac{a_n}{a_{n+ 1}}\mid$ ･･･③

※ほとんどのべき級数は，③の形で $x^n$ の係数だけを使って収束半径を求められる．
　偶数次の項，奇数次の項だけから成るべき級数など判断が難しいときは，①②に戻って判断してもよい．
※ほとんどのべき級数について，収束半径はダランベールの判定法を使えば求められる．（コーシーの判定法が必要なものは少ない）

【例1.9.1】
　次の関数をマクローリン展開し，その収束半径を求めてください．
$f(x)=e^x$

（解答）
　マクローリン展開の求め方は【例1.8.1】参照
$f(x)=1+ x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\hspace{2}\cdots\hspace{2}+\frac{x^{n}}{n!}+\cdots$
$=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$
　収束半径は
$r=\lim_{n\rightarrow\infty}\mid\hspace{2}\frac{(n+ 1)!}{n!}\hspace{2}\mid=\lim_{n\rightarrow\infty}\mid\hspace{2}n+ 1\hspace{2}\mid=\infty$ ･･･（答）

【例1.9.2】
　次の関数をマクローリン展開し，その収束半径を求めてください．
$f(x)=\sin x$

（解答）
　マクローリン展開の求め方は【例1.8.2】(2)参照
$f(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots$
$=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^{2n+ 1}}{(2n+ 1)!}$
　形式的に収束半径を求めようとすると，この問題のように奇数乗の項だけから成り立っている場合に
$\frac{a_n}{a_{n+ 1}}$
の計算において，分母や分子が0になって当惑してしまうかもしれない．このような場合は，①②に戻って検討すればよい．
$\mid\hspace{2}\frac{(-1)^{n+ 1}x^{2n+ 3}}{(2n+ 3)!}\cdot\frac{(2n+ 1)!}{(-1)^{n}x^{2n+ 1}}\hspace{2}\mid\lt 1$
のとき収束する．すなわち
$\mid\hspace{2}\frac{-x^{2}}{(2n+ 3)(2n+ 2)}\hspace{2}\mid\lt 1$
$\lim_{n\rightarrow\infty}\mid\hspace{2}\frac{x^{2}}{(2n+ 3)(2n+ 2)}\hspace{2}\mid\lt 1$
$x^{2}\lt\infty$
　収束半径は $\infty$ ･･･（答）

【例1.9.3】
　次の関数をマクローリン展開し，その収束半径を求めてください．
$f(x)=\log(1+ x)$

（解答）
　マクローリン展開の求め方は【例1.8.2】(4)参照
$f(x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots$
$=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+ 1}x^{n}}{n}$
収束半径は
$r=\lim_{n\rightarrow\infty}\mid\frac{a_n}{a_{n+ 1}}\mid=\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\hspace{2}\frac{\frac{(-1)^{n+ 1}}{n}}{\frac{(-1)^{n+ 2}}{n+ 1}}\hspace{2}\right|$
$=\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\hspace{2}-\frac{n+ 1}{n}\hspace{2}\right|=1$ ･･･（答）

【例1.9.4】
　次のべき級数の収束半径を求めてください．
$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{(2n)!}$

（解答）
$\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{\frac{x^{2n+ 2}}{(2n+ 2)!}}{\frac{x^{2n}}{(2n)!}}\right|=\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{x^{2}}{(2n+ 2)(2n+ 1)}\right|\lt 1$
より
$\mid x\mid\lt\infty$ ･･･（答）

【例1.9.5】
　次のべき級数の収束半径を求めてください．
$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{2^n}$

（解答）
$r=\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{2^{n+ 1}}{2^n}\right|=2$ ･･･（答）

【例1.9.6】
　次のべき級数の収束半径を求めてください．
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(3x)^{n}}{n}$

（解答）
$r=\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{3^{n}}{n}\cdot\frac{n+ 1}{3^{n+ 1}}\right|=\frac{1}{3}$ ･･･（答）

※生成ＡＩを使って学習するときの参考
生成ＡＩGoogle Gemini，Microsoft Copilot，ChatGPTなどを使うとき，
(1) このぺージにあるどの問題でも、問題が与えられたら解答と途中経過は書ける．
(2) ただし、読者のレベルに応じた問題を出すことは、なかなか難しいようである．概して、生成ＡＩは「読者が大学程度の知識があるものとして，使える知識を全部使って解く傾向がある」．このため、日本の小中高の生徒向けの練習問題を出してもらおうとすると、年代によって学習指導要領で定められた学習範囲が変わることは、ほぼ無視される．そこで，中学高校生向けの問題でも，「･･･の解き方を使わずに」などと解き方に制限を加えないと，分かる答案が返されないことがある。
　また，問題の質を詳しく指定しなければ，やさし過ぎる問題ばかりが並ぶこともある．例えば，「級数の収束半径を求める練習問題を５問作り、その解き方と解答を示してください。」と入力した場合，整級数の問題ばかりが並ぶことがある．こうした場合，「整関数，無理関数，指数関数，三角関数，対数関数からそれぞれ１問ずつ合計５問作り，･･･」などと問題の質を詳しく指定しなければ，期待した問題の質と異なる場合がある．

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