連分数

==連分数==

1. 連分数の定義

　次の形の分数を連分数という．
$a_0+\frac{b_1}{a_1+\frac{b_2}{a_2+\cdots\frac{b_n}{a_n+\cdots}}}$
　この繰り返しnが有限回のものは有限連分数といい，無限回になっているものは無限連分数という．

2. 正則連分数の定義

　すべての $b_k=1$ となっているもの
$a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\cdots\frac{1}{a_n+\cdots}}}$
を正則連分数という．以下においては，正則連分数だけを扱う．

3. 連分数の例

$\frac{11}{8}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{2}}}$
$\sqrt{2}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{\cdots}}}}}$

4. 連分数を表す記号

$a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\cdots\frac{1}{a_n+\cdots}}}$
は，
$a_0+\frac{1}{a_1}\hspace{1}\underset{+}{\hspace{2}}\frac{1}{a_2}\underset{+}{\hspace{2}}\frac{1}{a_3}\underset{+}{\hspace{2}}\cdots$
と書かれる．また，次のように書かれることもある．
$[a_0,\hspace{2}a_1,\hspace{2}a_2,\hspace{2}a_3,\hspace{2}\cdots]$
整数部分だけセミコロンで区切る書き方もある．
$[a_0;\hspace{2}a_1,\hspace{2}a_2,\hspace{2}a_3,\hspace{2}\cdots]$

5. 有理数，無理数と連分数

1) 有理数は有限正則連分数で表せる．有限正則連分数は有理数を表す．
2) 無理数は無限正則連分数で表せる．無限正則連分数は無理数を表す．
3) ２次無理数は，（無限）循環連分数で表せる．（無限）循環連分数は２次無理数を表す．
（２次無理数とは，整数係数の既約２次方程式の解のこと）

1)←
　 $1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{2}}}$
のような有限連分数を，分数の深い方から順に通分していけば，有限回の操作で整数分の整数になることは明らか．
　逆に，
$\frac{11}{8}=1+\frac{3}{\fbox{8}}=1+\frac{1}{\frac{8}{3}}=1+\frac{1}{2+\frac{2}{\fbox{3}}}$
$=1+\frac{1}{2+\frac{1}{\frac{3}{2}}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{\fbox{2}}}$
のように，整数分の整数を連分数にする場合
11÷8=1…3
8÷3=2…2
$a\div b=q\cdots r\hspace{3}(0\underline{\le}r\lt b)$ となる余り $r$ は必ず $b$ よりも小さいから，この割り算は有限回で終わる．したがって，有限連分数になる．
（ユークリッドの互除法の原理）

2)←
1)の対偶を取ると
「有限正則連分数で表せないならば有理数でない」となるから「無限正則連分数ならば無理数である」と言える．
「有理数でないならば有限正則連分数でない」となるから「無理数ならば無限正則連分数である」と言える．
3)←

（参考）
※連分数では有限が有理数に，無限が無理数に対応しているのに対して，小数では有理数と有限，無理数と無限は対応しないことに注意

	小数表示	連分数表示
有理数	有限小数 [例] $0.5$ など	有限連分数 [例] $\frac{11}{8}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{2}}}$
	循環する無限小数 [例] $\frac{1}{3}=0.33..$ など
無理数	循環しない無限小数 [例] $\sqrt{2}=1.4142..$ $\pi=3.1415..$ など	循環する無限連分数（２次無理数） [例] $\sqrt{2}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{\cdots}}}}}$
		循環しない無限連分数 [例] $e=2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{4\cdots}}}}}$

6. 例題

【例1】

$\frac{91}{27}$ を連分数で表してください．

（解答）
割り算をして，商と余りに分ける（商は整数として分離，余りは分子に）
$\frac{91}{27}=3+\frac{10}{27}$
分子が分母よりも小さくなっているから，分の１にしてひっくり返す
$=3+\frac{1}{\frac{27}{10}}$
割り算をして，商と余りに分ける（商は整数として分離，余りは分子に）
$=3+\frac{1}{2+\frac{7}{10}}$
分子が分母よりも小さくなっているから，分の１にしてひっくり返す
$=3+\frac{1}{2+\frac{1}{\frac{10}{7}}}$
割り算をして，商と余りに分ける（商は整数として分離，余りは分子に）
$=3+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{3}{7}}}$
分子が分母よりも小さくなっているから，分の１にしてひっくり返す
$=3+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{\frac{7}{3}}}}$
割り算をして，商と余りに分ける（商は整数として分離，余りは分子に）
$=3+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{3}}}}$

$3+\frac{1}{2}\hspace{1}\underset{+}{\hspace{2}}\frac{1}{1}\underset{+}{\hspace{2}}\frac{1}{2}\underset{+}{\hspace{2}}\frac{1}{3}$ …（答）

$[3,\hspace{2}2,\hspace{2}1,\hspace{2}2,\hspace{2}3]$ …（答）

（備考）
$\frac{1}{3}=\frac{1}{2+\frac{1}{1}}$ と書けるから
$3+\frac{1}{2}\hspace{1}\underset{+}{\hspace{2}}\frac{1}{1}\underset{+}{\hspace{2}}\frac{1}{2}\underset{+}{\hspace{2}}\frac{1}{2}\underset{+}{\hspace{2}}\frac{1}{1}$
$[3,\hspace{2}2,\hspace{2}1,\hspace{2}2,\hspace{2}2,\hspace{2}1]$ でも同じ

【例2】

$\frac{7}{10}$ を連分数で表してください．

（解答）
整数部分を0とする
$\frac{7}{10}=0+\frac{7}{10}$
分子が分母よりも小さくなっているから，分の１にしてひっくり返す
$\frac{7}{10}=0+\frac{1}{\frac{10}{7}}$
割り算をして，商と余りに分ける（商は整数として分離，余りは分子に）
$=0+\frac{1}{1+\frac{3}{7}}$
分子が分母よりも小さくなっているから，分の１にしてひっくり返す
$=0+\frac{1}{1+\frac{1}{\frac{7}{3}}}$
割り算をして，商と余りに分ける（商は整数として分離，余りは分子に）
$=0+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{3}}}$
$0+\frac{1}{1}\hspace{1}\underset{+}{\hspace{2}}\frac{1}{2}\underset{+}{\hspace{2}}\frac{1}{3}$ …（答）

$[0,\hspace{2}1,\hspace{2}2,\hspace{2}3]$ …（答）

【例3】
　次の連分数で表される有理数を整数整数　　の形で表してください．
$0+\frac{1}{2}\hspace{1}\underset{+}{\hspace{2}}\frac{1}{1}\underset{+}{\hspace{2}}\frac{1}{3}$

（解答）
$0+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{3}}}$
$=0+\frac{1}{2+\frac{1}{\frac{4}{3}}}=0+\frac{1}{2+\frac{3}{4}}$
$=0+\frac{1}{\frac{11}{4}}=\frac{4}{11}$ …（答）

【例4】
　次の連分数で表される有理数を整数整数　　の形で表してください．
$[5,4,3,2]$

（解答）
$5+\frac{1}{4+\frac{1}{3+\frac{1}{2}}}$
$=5+\frac{1}{4+\frac{1}{\frac{7}{2}}}=5+\frac{1}{4+\frac{2}{7}}$
$=5+\frac{1}{\frac{30}{7}}=5+\frac{7}{30}=\frac{157}{30}$ …（答）

　循環する無限小数（循環小数）は， $1.2345345...=1.2\dot{3}4\dot{5}$ のように，循環する部分（の両端）にドットを付けて表します．
　循環する無限連分数（循環連分数）は， $[1,2,\bar{3,4,5}]$ のように，循環する部分（の全体）にバーを付けて表します．

【例5】
　 $\sqrt{2}=1.4142...$ を循環連分数で表してください．

（解答）
$\sqrt{2}\simeq 1.4$ だから， $\sqrt{2}$ の整数部分は1，残りは $\sqrt{2}-1$ ．これらを分離する．
$\sqrt{2}=1+\fbox{(\sqrt{2}-1)}$ …(1)
残りの部分を，分の１にして分母と分子をひっくり返す．
$\sqrt{2}=1+\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}-1}$
分母を有理化する
$\sqrt{2}=1+\frac{1}{\frac{\sqrt{2}+ 1}{1}=1+\frac{1}{\sqrt{2}+ 1}$
$\sqrt{2}+ 1\simeq 2.4$ だから， $\sqrt{2}+ 1$ の整数部分は2，残りは $\sqrt{2}-1$ ．これらを分離する．
$=1+\fbox{\frac{1}{2+\fbox{(\sqrt{2}-1)}}}$ …(2)
(1)と(2)の $\fbox{(\sqrt{2}-1)}$ の部分は同じだから， $\fbox{(\sqrt{2}-1)}$ の代わりに， $\fbox{\frac{1}{2+\fbox{(\sqrt{2}-1)}}}$ が入る．
$\sqrt{2}=1+\frac{1}{2+\fbox{\frac{1}{2+\fbox{(\sqrt{2}-1)}}}}$
これを繰り返すから
$\sqrt{2}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\fbox{\frac{1}{2+\fbox{(\sqrt{2}-1)}}}}}$
これが限りなく繰り返される
$\sqrt{2}=1+\frac{1}{2}\hspace{1}\underset{+}{\hspace{2}}\frac{1}{2}\underset{+}{\hspace{2}}\frac{1}{2}\underset{+}{\hspace{2}}\cdots$
$\sqrt{2}=[1,\hspace{2}2,\hspace{2}2,\hspace{2}2,\hspace{2}\cdots]$
$\sqrt{2}=[1,\hspace{2}\bar{2}]$ …（答）

【例6】
　 $\sqrt{3}=1.732...$ の連分数展開を求めてください．

（解答）
$\sqrt{3}\simeq 1.7$ だから， $\sqrt{3}$ の整数部分は1，残りは $\sqrt{3}-1$ ．これらを分離する．
$\sqrt{3}=1+\fbox{(\sqrt{3}-1)}$ …(1)
残りの部分を，分の１にして分母と分子をひっくり返す．
$\sqrt{3}=1+\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}-1}$
分母を有理化する
$\sqrt{3}=1+\frac{1}{\frac{\sqrt{3}+ 1}{2}$
$\frac{\sqrt{3}+ 1}{2}\simeq 1.3$ だから， $\frac{\sqrt{3}+ 1}{2}$ の整数部分は1，残りは $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$ ．これらを分離する．
$\sqrt{3}=1+\frac{1}{1+\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
残りの部分を，分の１にして分母と分子をひっくり返す．
$=1+\frac{1}{1+\frac{1}{\sqrt{3}+ 1}$
$\sqrt{3}+ 1\simeq 2.7$ だから， $\sqrt{3}+ 1$ の整数部分は2，残りは $\sqrt{3}-1$ ．これらを分離する．
$\sqrt{3}=1+\fbox{\frac{1}{1+\frac{1}{2+\fbox{(\sqrt{3}-1)}}}$ …(2)
(1)と(2)の $\fbox{(\sqrt{3}-1)}$ の部分は同じだから， $\fbox{(\sqrt{3}-1)}$ の代わりに， $\fbox{\frac{1}{1+\frac{1}{2+\fbox{(\sqrt{3}-1)}}}$ が入る．
$\sqrt{3}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\fbox{(\sqrt{3}-1)}}}$
これが限りなく繰り返される
$\sqrt{3}=1+\frac{1}{1}\hspace{1}\underset{+}{\hspace{2}}\frac{1}{2}\underset{+}{\hspace{2}}\frac{1}{1}\underset{+}{\hspace{2}}\frac{1}{2}+\cdots$
$\sqrt{3}=[1,\hspace{2}1,\hspace{2}2,\hspace{2}1,\hspace{2}2,\hspace{2}1,\cdots]$
$\sqrt{3}=[1,\hspace{2}\bar{1,\hspace{2}2}]$ …（答）

7. ２次無理数と循環連分数

　既約整数係数の２次方程式の解で表される数を２次無理数という．（ここでは，そのうちの正の数のみを考える）

[例]
$x^2=2\rightarrow x=\sqrt{2}$
$x^2+ 2x=2\rightarrow x=\sqrt{3}-1$

　２次無理数について，次の性質が成り立つ．
「２次無理数は循環する無限連分数に展開される．逆に，循環する無限連分数は２次無理数を表す．」

　上記の性質を一般的に証明するのは難しいが，個別具体的に内容を検討することはできる．

(1) ２次無理数の連分数展開［具体例］

$\sqrt{2}=[1,\bar{2}]$	$\sqrt{3}=[1,\bar{1,\hspace{2}2}]$	$\sqrt{5}=[2,\bar{4}]$
$\sqrt{6}=[2,\bar{2,\hspace{2}4}]$	$\sqrt{7}=[2,\bar{1,\hspace{2}1,\hspace{2}1,\hspace{2}4}]$	$\sqrt{8}=[2,\bar{1,\hspace{2}4}]$
$\sqrt{10}=[3,\bar{6}]$	$\sqrt{11}=[3,\bar{3,\hspace{2}6}]$	$\sqrt{12}=[3,\bar{2,\hspace{2}6}]$
$\sqrt{13}=[3,\bar{1,\hspace{2}1,\hspace{2}1,\hspace{2}6}]$	$\sqrt{14}=[3,\bar{1,\hspace{2}2,\hspace{2}1,\hspace{2}6}]$	$\sqrt{15}=[3,\bar{1,\hspace{2}6}]$

(2) 循環連分数が２次無理数になることの証明
　整数部分が循環すると無限に大きな数になるから，整数部分を除いたものの連分数展開を考える．
　例えば， $\sqrt{2}=1.4142...$ だから， $\sqrt{2}$ の整数部分は1
　そこで， $\sqrt{2}=[1,\bar{2}]$ において，整数部分を取り除いた $\sqrt{2}-1$ が循環連分数になる．
$\fbox{(\sqrt{2}-1)}$ …(1)
$=\fbox{\frac{1}{2+\fbox{(\sqrt{2}-1)}}}$ …(2)
$x=\fbox{(\sqrt{2}-1)}$ とおくと，
$x=\frac{1}{2+ x}}$
だから， $x$ は，次の整数係数２次方程式の解となっている．
$x^2+ 2x=1$

　一般に，循環する部分が１つの数 $1\underline{\le}n\underline{\le}9$ であるとき，
$x=\frac{1}{n+ x}}$
とおけるから， $x$ は，次の整数係数２次方程式の解となっている．
$x^2+ nx=1$

循環する部分が２つの数 $1\underline{\le}m,\hspace{2}n\underline{\le}9$ であるとき，
$x=\frac{1}{m+\frac{1}{n+ x}}$
とけるから， $x$ は，次の整数係数２次方程式の解となっている．
$mx^2+ mnx=n$

　循環する部分が３つ以上の数になる場合も同様だから，循環連分数は２次無理数を表すと言える．

(3) ２次無理数が循環連分数になること（一般的に証明することは難しいので例のみを示す）
$\sqrt{2}=1.4142...$ だから， $\sqrt{2}$ の整数部分は1
　 $x=\sqrt{2}-1$ とおくと
$x+ 1=\sqrt{2}$
$x^2+ 2x+ 1=2$
$x^2+ 2x=1$
$x=\frac{1}{2+ x}$
したがって
$\sqrt{2}-1=[0,\hspace{2}\bar{2}]$

$\sqrt{3}=1.732...$ だから， $\sqrt{3}$ の整数部分は1
　 $x=\sqrt{3}-1$ とおくと
$x+ 1=\sqrt{3}$
$x^2+ 2x+ 1=3$
$x^2+ 2x=2$
$x=\frac{2}{2+ x}$
$x=\frac{1}{\frac{2+ x}{2}}=\frac{1}{1+\frac{x}{2}}$
ここで，
$\frac{x}{2}=\frac{1}{2+ x}$
だから
$x=\frac{1}{\frac{2+ x}{2}}=\frac{1}{1+\frac{1}{2+ x}}$
したがって
$\sqrt{3}-1=[0,\hspace{2}\bar{1,\hspace{2}2}]$

8. 超越無理数と連分数

　超越無理数（代数方程式の解以外の無理数） $e$ や $\pi$ は循環しない無限連分数に展開される．
　有理数は有限連分数に，２次無理数は循環連分数に展開されるので，それらのいずれでもない超越無理数は，有限連分数ではなく無限連分数でかつ循環しないものになる．
$e=[2,\hspace{2}1,\hspace{2}2,\hspace{2}1,\hspace{2}1,\hspace{2}4,\hspace{2}1,\hspace{2}1,\hspace{2}6,\hspace{2}\cdots]$

$e=2.718...$ だから
$e=2+(e-2)=2+\frac{1}{\frac{1}{e-2}}$
$\frac{1}{e-2}=0.39...$ だから
$e=2+(e-2)=2+\frac{1}{1+(\frac{1}{e-2}-1)}$
$=2+\frac{1}{1+\frac{3-e}{e-2}}=2+\frac{1}{1+\frac{1}{\frac{e-2}{3-e}}}}$
$\frac{e-2}{3-e}=2.54...$ だから
$=2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+(\frac{e-2}{3-e}-2)}}}$
この作業を続ける

$\pi=[3,\hspace{2}7,\hspace{2}15,\hspace{2}1,\hspace{2}292,\hspace{2}1,\hspace{2}1,\hspace{2}\cdots]$

$\pi=3.1415...$ だから
$\pi=3+(\pi-3)=3+\frac{1}{\frac{1}{\pi-3}}$
$\frac{1}{\pi-3}=7.06...$ だから
$\pi=3+\frac{1}{7+(\frac{1}{\pi-3}-7)}=3+\frac{1}{7+\frac{22-7\pi}{\pi-3}}$
$=3+\frac{1}{7+\frac{1}{\frac{\pi-3}{22-7\pi}}}}$
$\frac{\pi-3}{22-7\pi}=15.99...$ だから
$=3+\frac{1}{7+\frac{1}{15+(\frac{\pi-3}{22-7\pi}-15)}}}$
この作業を続ける

$\pi$ の連分数展開を適当な回数まで行い， $\pi$ の近似値を分数で表すことができる．
$\pi\simeq 3+\frac{1}{7}=\frac{22}{7}$
$\pi\simeq 3+\frac{1}{7}\hspace{1}\underset{+}{\hspace{2}}\frac{1}{15}\underset{+}{\hspace{2}}\frac{1}{1}=\frac{355}{113}$
など

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